Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Многие поколения студентов как в нашей стране, так и за рубежом хорошо знают это пособие, ставшее классическим учебным изданием. Его ценность заключается в том, что сложные вопросы теории вероятностей и математической статистики изложены в логической последовательности и доступной форме. Большое количество примеров позволяет лучше усвоить материал, а задачи, приведенные в конце каждой главы, закрепить полученные знания.

Шаг 1. Выбирайте книги в каталоге и нажимаете кнопку «Купить»;

Шаг 2. Переходите в раздел «Корзина»;

Шаг 3. Укажите необходимое количество, заполните данные в блоках Получатель и Доставка;

Шаг 4. Нажимаете кнопку «Перейти к оплате».

На данный момент приобрести печатные книги, электронные доступы или книги в подарок библиотеке на сайте ЭБС возможно только по стопроцентной предварительной оплате. После оплаты Вам будет предоставлен доступ к полному тексту учебника в рамках Электронной библиотеки или мы начинаем готовить для Вас заказ в типографии.

Внимание! Просим не менять способ оплаты по заказам. Если Вы уже выбрали какой-либо способ оплаты и не удалось совершить платеж, необходимо переоформить заказ заново и оплатить его другим удобным способом.

Оплатить заказ можно одним из предложенных способов:

Безналичный способ:
- Банковская карта: необходимо заполнить все поля формы. Некоторые банки просят подтвердить оплату – для этого на Ваш номер телефона придет смс-код.
- Онлайн-банкинг: банки, сотрудничающие с платежным сервисом, предложат свою форму для заполнения. Просим корректно ввести данные во все поля.
  Например, для " class="text-primary">Сбербанк Онлайн требуются номер мобильного телефона и электронная почта. Для " class="text-primary">Альфа-банка потребуются логин в сервисе Альфа-Клик и электронная почта.
- Электронный кошелек: если у Вас есть Яндекс-кошелек или Qiwi Wallet, Вы можете оплатить заказ через них. Для этого выберите соответствующий способ оплаты и заполните предложенные поля, затем система перенаправит Вас на страницу для подтверждения выставленного счета.

Название: Теория вероятностей и математическая статистика. 2003.

Книга (8 - е изд. - 2002 г.) содержит в основном весь материал программы по теории вероятностей и математической статистике. Большое внимание уделено статистическим методам обработки экспериментальных данных. В конце каждой главы помещены задачи с ответами.
Предназначается для студентов ВУЗов и лиц, использующих вероятностные и статистические методы при решении практических задач.

Предмет теории вероятностей. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 14
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Глава первая. Основные понятия теорян вероятностен 17
§ 1. Испытания и события 17
§ 2. Виды случайных событий 17
§ 3. Классическое определение вероятности 18
§ 4. Основные формуяы комбинаторики 22
§ 5. Примеры непосредственного вычисления вероятностей 23
§ 6. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты 24
§ 7. Ограниченность классического определения вероятности.
Статистическая вероятность 26
§ 8. Геометрические вероятности 27
Задачи 30
Глава вторая. Теорема сложения вероятностей 31
§ 1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий 31
§ 2. Полная группа событий 33
§ 3. Противоположные события 34
§ 4. Принцип практической невозможности маловероятных событий 35
Задачи 36
Глава третья. Теорема умножения вероятностей 37
§ 1. Произведение событий 37
§ 2 Условная вероятность 37
§ 3 Теорема умножения вероятностей 38
§ 4 Независимые события Теорема умножения для независимых событий 40
§ 5 Вероятность появления хотя бы одного события 44
Задачи 47
Глава четвертая Следствия теорем сложения и умножения 4S
§ 1 Теорема сложения вероятностей совместных событий 48
§ 2 Формула полной вероятности 50
§ 3 Вероятность гипотез Формулы Бейеса 52
Задачи 53
Глава пятая Повторение испытаний 55
§ 1 Формула Бернулли 55
§ 2 Локальная теорема Лапласа 57
§ 3 Интегральная теорема Лапласа 59
§ 4 Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях 61
Задачи 63
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Глава шестая Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины 64
§ 1 Случайная величина 64
§ 2 Дискретные и непрерывные случайные величины 65
§ 3 Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 65
§ 4 Биномиальное распределение 66
§ 5 Распределение Пуассона 68
§ 6 Простейший поток событий 69
§ 7 Геометрическое распределение 72
§ 8 Гипергеометрическое распределение 73
Задачи 74
Глава седьмая Математическое ожидание дискретной случайной величины 75
§ 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин 75
§ 2 Математическое ожидание дискретной случайной величины 76
§ 3 Вероятностный смысл математического ожидания 77
§ 4 Свойства математического ожидания 78
§ 5 Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях S3
Задачи 84
Глава восьмая Дисперсна дискретной случайной величины 85
§ 1 Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины 85
§ 2 Отклонение случайной величины от ее математического ожидания 86
§ 3 Дисперсия дискретной случайной величины 87
§ 4 Формула для вычисления дисперсии 89
§ 5 Свойства дисперсии 90
§ 6 Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях 92
§ 7 Среднее квадратическое отклонение 94
§ 8 Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин 95
§ 9 Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины 95
§ 10 Начальные и центральные теоретические моменты 98
Задачи 100
Глава девятая Закон больших чисел 101
§ 1 Предварительные замечания 101
§ 2 Неравенство Чебышева 101
§3 Теорема Чебышева 103
§ 4 Сущность теоремы Чебышева 106
§ 5 Значение теоремы Чебышева для практики 107
§ 6 Теорема Бернулли 108
Задачи 110
Глава десятая Функция распределения вероятностей случайной величины 111
§ 1 Определение функции распределения 111
§ 2 Свойства функции распределения 112
§ 3 График функции распределения 114
Задачи 115
Глава одиннадцатая Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины 116
§ 1 Определение плотности распределения 116
§ 2 Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал 116
§ 3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения 118
5 4. Свойства плотности распределения 119
§ 5. Вероятностный смысл плотности распределения 121
§ 6. Закон равномерного распределения вероятностей 122
Задачи 124
Глава двенадцатая. Нормальное распределение 124
§ I. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 124
§ 2. Нормальное распределение 127
§ 3. Нормальная кривая 130
§ 4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой 131
§ 5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины 132
§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения 133
§ 7. Правило трех сигм 134
§ 8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы 135
§ 9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс 137
§ 10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение 139
§ 11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента 141
§ 12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения 143
§ 13. Распределение «хи квадрат* 145
§ 14. Распределение Стыодента 146
§ 15. Распределение /"Фишера-Снедекора 147
Задачи 147
Глава тринадцатая. Показательное распоедеяеам 149
§ 1. Определение показательного распределения 149
§ 2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины 150
§ 3. Числовые характеристики показательного распределения 151
§ 4. Функция надежности 152
§ 5. Показательный закон надежности 153
§ 6. Характеристическое свойство показательного закона надежности 154
Задачи 155
Глава четырнадцатая. Система двух случайных веянии 155
§ 1. Понятие о системе нескольких случайных величин 155
§ 2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины 156
§ 3. Функция распределения двумерной случайной величины 158
§ 4. Свойства функции распределения двумерной случайной величины 159
§ 5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу 161
§ 6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник 162
§ 7. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности) 163
§ 8. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения 163
§ 9. Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности 164
§ 10. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область 165
§ 11. Свойства двумерной плотности вероятности 167
§ 12. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины 168
§ 13. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин 169
§ 14. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин 171
§ 15. Условное математическое ожидание 173
§ 16. Зависимые и независимые случайные величины 174
§ 17. Числовые характеристики систем двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции 176
§ 18. Коррелированное™ и зависимость случайных величин 179
§ 19. Нормальный закон распределения на плоскости 181
§ 20. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии 182
§ 21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция 184
Задачи 185
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Глава пятнадцатая. Выборочный метод 187
§ 1. Задачи математической статистики 187
§ 2. Краткая историческая справка 188
§ 3. Генеральная и выборочная совокупности 188
§ 4. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка 189
§ 5 Способы отбора 190
§ 6 Статистическое распределение выборки 192
§ 7 Эмпирическая функция распределении 192
§ 8 Полигон и гистограмма 194
Задачи 196
Глава шестнадцатая Статистическая оценка параметров распределения 197
§ 1 Статистические оценки параметров распределения 197
§ 2 Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки 198
§ 3 Генеральная средняя 194
§ 4 Выборочная средняя 200
§ 5 Оценка генеральной средней по выборочной средней Устойчивость выборочных средних 201
§ 6 Групповая и общая средние 203
§ 7 Отклонение от общей средней и его свойство 204
§ 8 Генеральная дисперсия 205
§ 9 Выборочная дисперсия 206
§ 10 Формула для вычисления дисперсии 207
§ 11 Групповая, внутригрупповая. межгрупповая и общая дисперсии 207
§ 12 Сложение дисперсий 210
§ 13 Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной 211
§ 14 Точность опенки, доверительная вероятность (надежность) Доверительный интервал 213
§ 15 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном о 2)4
§ 16 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном о 216
§17 Оценка истинного значения измеряемой величины 219
§ 18 Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения о нормального распределения 220
§ 19 Оценка точности измерений 223
§ 20 Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте 224
§ 21 Метод моментов для точечной оценки параметров распределения 226
§ 22 Метод наибольшего правдоподобия 229
§ 23 Другие характеристики вариационного ряда 234
Задачи 235
Глава семнадцатая Методы расчета евддиыж хавжктернстнж выборки 237
§ 1 Условные варианты 237
§2 Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты 238
§ 3 Условные эмпирические моменты Отыскание центральных моментов по условным 239
§ 4 Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии 241
§ 5 Сведение первоначальных вариантов к равноотстоящим 243
§ 6 Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты 245
§ 7 Построение нормальной кривой по опытным данным 249
§ 8 Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального Асимметрия и эксцесс 250
Задачи 252
Глава восемнадцатая Элементы теории корреляция 253
§ 1 Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости 253
§ 2 Условные средние 254
§ 3 Выборочные уравнения регрессии 254
§ 4 Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по несгруппированиым данным 255
§ 5 Корреляционная таблица 257
§ 6 Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным 259
§ 7 Выборочный коэффициент корреляции 261
§ 8 Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции 262
§ 9 Пример на отыскание выборочного уравнения прямой линии регрессии 267
§ 10 Предварительные соображения к введению меры любой корреляционной связи 268
§ 11 Выборочное корреляционное отношение 270
§12 Свойства выборочного корреляционного отношения 272
§ 13 Корреляционное отношение как мера корреляционной связи Достоинства и недостатки этой меры 274
§ 14 Простейшие случаи криволинейной корреляции 275
§ 15 Понятие о множественной корреляции 276
Задачи 278
Глава девятнадцатая Статистическая проверка статистических гипотез 281
§ 1 Статистическая гипотеза Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы 281
§ 2 Ошибки первого и второго рода 282
§ 3 Статистический критерий проверки нулевой гипотезы Наблюдаемое значение критерия 283
§ 4 Критическая область Область принятия гипотезы Критические точки 284
§ 5 Отыскание правосторонней критической области 285
§ 6 Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей 286
§ 7 Дополнительные сведения о выборе критической области Мощность критерия 287
§ 8 Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей 288
§ 9 Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности 293
§ 10 Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки) 297
§ 11 Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки) 303
§ 12 Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки) 305
§ 13 Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности 308
§ 14 Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом 312
§ 15 Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних 313
§ 16 Пример на отыскание мощности критерия 313
§ 17 Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки) 314
§ 18 Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события 317
§19 Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений 319
§ 20 Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема Критерий Бартлетта 322
§ 21 Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема Критерий Кочрена 325
§ 22 Проверка гипотезы в значимости выборочного коэффициента корреляции 327
§ 23 Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности Критерий согласия Пирсона 329
§ 24 Методика вычисления теоретических частот нормального распределения 333
§ 25 Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверка гипотезы о его значимости 335
§ 26 Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка гипотезы о его значимости 341
§ 27 Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок 343
Задачи 346
Глава двадцатая Однофакторный дисперсионный анализ 349
§ I Сравнение нескольких средних Понятие о дисперсионном анализе 349
§ 2 Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений 350
§ 3 Связь между обшей, факторной и остаточной суммами 354
§ 4 Общая, факторная и остаточная дисперсии 355
§ 5 Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа 355
§ 6 Неодинаковое число испытаний на различных уровнях 358
Задачи 361
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО. ЦЕПИ МАРКОВА
Глава двадцать первая Моделирование (разыгрывание) случайных величия методом Монте-Карло 363
§ 1 Предмет метода Монте-Карло 363
§ 2 Оценка погрешности метода Монте-Карло 364
§ 3 Случайные числа 366
§ 4 Разыгрывание дискретной случайной величины 366
§ 5 Разыгрывание противоположных событий 368
§ 6 Разыгрывание полной группы событий 369
§ 7 Разыгрывание непрерывной случайной величины Метод обратных функций 371
§ 8 Метод суперпозиции 375
§ 9 Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины 377
Задачи 379
Глава двадцать вторая Первоначальные сведения о цепях Маркова. 380
§ 1 Цепь Маркова 380
§ 2 Однородная цепь Маркова Переходные вероятности Матрица перехода 381
§ Равенство Маркова 383
Задачи 385
ЧАСТЬ ПЯТАЯ. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава двадцать третья Случайные функции 386
§ 1 Основные задачи 386
§ 2 Определение случайной функции 386
§ 3 Корреляционная теория случайных функций 388
§ 4 Математическое ожидание случайной функции 390
§ 5 Свойства математического ожидания случайной функции 390
§ 6 Дисперсия случайной функции 391
§ 7 Свойства дисперсии случайной функции 392
§ 8 Целесообразность введения корреляционной функции 393
§ 9 Корреляционная функция случайной функции 394
§ 10 Свойства корреляционной функции 395
§ 11 Нормированная корреляционная функция 398
§ 12 Взаимная корреляционная функция 399
§ 13 Свойства взаимной корреляционной функции 400
§ 14 Нормированная взаимная корреляционная функция 401
§ 15 Характеристики суммы случайных функций 402
§ 16 Производная случайной функции и ее характеристики 405
§ 17 Интеграл от случайной функции и его характеристики 409
§ 18 Комплексные случайные величины и их числовые характеристики 413
§ 19 Комплексные случайные функции и их характеристики 415
Задачи 417
Глава двадцать четвертая Стационарные случайные функция 419
§1 Определение стационарной случайной функции 419
§ 2 Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции 421
§ 3 Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции 421
§ 4 Стационарно связанные случайные функции 423
§ 5 Корреляционная функция производной стационарной случайной функции 424
§ 6 Взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции и ее производной 425
§ 7 Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции 426
§ 8 Определение характеристик эргодических стационарных случайных функций из опыта 428
Задачи 430
Глава двадцать пятая Элементы спектральной теории стационарных случайных функций 431
§ 1 Представление стационарной случайной функции в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами 431
§ 2 Дискретный спектр стационарной случайной функции 435
§ 3 Непрерывный спектр стационарной случайной функции Спектральная плотность 437
§ 4 Нормированная спектральная плотность 441
§ 5 Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных функций 442
§ 6 Дельта-функция 443
§ 7 Стационарный белый шум 444
§ 8 Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой 446
Задачи 449
Дополнение 451
Приложения 461
Предметный указатель 474