Ряды, построенные по количественному признаку , называются вариационным .

Ряды распределений состоят из вариантов (значений признака) и частот (численности групп). Частоты, выраженные в виде относительных величин (долей, процентов) называются частостями . Сумма всех частот называется объёмом ряда распределения.

По виду ряды распределения делятся на дискретные (построены по прерывным значениям признака) и интервальные (построены на непрерывных значениях признака).

Вариационный ряд представляет собой две колонки (или строки); в одной из которых приводятся отдельные значения варьирующего признака, именуемые вариантами и обозначаемые Х; а в другой – абсолютные числа, показывающие сколько раз (как часто) встречается каждый вариант. Показатели второй колонки называются частотами и условно обозначают через f. Еще раз заметим, что во второй колонке могут использоваться и относительные показатели, характеризующие долю частоты отдельных вариантов в общей сумме частот. Эти относительные показатели именуются частостями и условно обозначают через ω Сумма всех частостей в этом случае равна единице. Однако частоты можно выражать и в процентах, и тогда сумма всех частостей дает 100%.

Если варианты вариационного ряда выражены в виде дискретных величин, то такой вариационный ряд именуют дискретным.

Для непрерывных признаков вариационные ряды строятся как интервальные , то есть значения признака в них выражаются «от… до …». При этом минимальны значения признака в таком интервале именуют нижней границей интервала, а максимальное – верхней границей.

Интервальные вариационные ряды строят и для дискретных признаков, варьирующих в большом диапазоне. Интервальные ряды могут быть с равными и неравными интервалами.

Рассмотрим как определяется величина равных интервалов. Введем следующие обозначения:

i – величина интервала;

- максимальное значение признака у единиц совокупности;

– минимальное значение признака у единиц совокупности;

n – число выделяемых групп.

, если n известно.

Если число выделяемых групп трудно заранее определить, то для расчета оптимальной величины интервала при достаточном объеме совокупности может быть рекомендована формула, предложенная Стерджессом в 1926 году:

n = 1+ 3.322 lg N, где N – число единиц в совокупности.

Величина неравных интервалов определяется в каждом отдельном случае с учетом особенностей объекта изучения.

Статистическим распределением выборки называют перечень ва­риант и соответствующих им частот (или относительных частот).

Статистическое распределение выборки можно задать в виде таблицы, в первой графе которой располагаются варианты, а во второй - соот­ветствующие этим вариантам частоты ni , или относительные частоты Pi .

Статистическое распределение выборки

Интервальными называются вариационные ряды, в которых значе­ния признаков, положенных в основу их образования, выражены в определенных пределах (интервалах). Частоты в этом случае относятся, не к отдельным значениям признака, а ко всему интервалу.

Интервальные ряды распределения строятся по непрерывным количе­ственным признакам, а также по дискретным признакам, варьирующим в значительных пределах.

Интервальный ряд можно представить статистическим распределени­ем выборки с указанием интервалов и соответствующих им частот. При этом в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, по­павших в этот интервал.

При группировке по количественным непрерывным признакам важ­ное значение имеет определение размера интервала.

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Группа чисел, объединяемая каким-либо признаком, называется совокупностью.

Как было отмечено выше, первичный статистический спортивный материал представляет собой группу разрозненных чисел, не дающих тренеру представления о существе явления или процесса. Задача заключается в том, чтобы превратить эту совокупность в систему и воспользоваться ее показателями для получения требуемой информации.

Составление вариационного ряда как раз и представляет собой формирование определенной математической

Пример 2. У 34 спортсменов-лыжников зарегистрировано такое время восстановления пульса после прохождения дистанции (в секундах):

81; 78: 84; 90; 78; 74; 84; 85; 81; 84: 79; 84; 74; 84; 84;

85; 81; 84; 78: 81; 74; 84; 81; 84; 85; 81; 78; 81; 81; 84;

Как видно, данная группа цифр не несет никакой информации.

Для составления вариационного ряда вначале производим операцию ранжирования - расположения чисел в порядке возрастания или убывания. Например, в порядке возрастания ранжирование приводит к следующему;

78; 78; 78; 78; 78; 78;

81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81;

84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84;

В порядке убывания ранжирование приводит к такой группе чисел:

84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84: 84: 84; 84;

81; 81; 81; 81; 8!; 81: 81; 81; 81;

78; 78; 78; 78; 78; 78;

После проведения ранжирования становится очевидной нерациональная форма записи данной группы чисел-одни и те же числа повторяются многократно. Поэтому возникает естественная мысль преобразовать запись таким образом, чтобы указать, какое число сколько раз повторяется. Например, учитывая ранжирование в порядке возрастания:

Здесь слева записано число, указывающее время восстановления пульса спортсмена, справа-число повторений этого показания в данной группе из 34 спортсменов.

В соответствии с приведенными выше понятиями о математических символах рассмотренную группу измерений обозначим какой-либо буквой, например х. Учитывая возрастающий порядок чисел в данной группе: х 1 -74 с; х 2 - 78 с; х 3 - 81 с; х 4 - 84 с; х 5 - 85 с; х 6 -х n - 90 с, каждое рассмотренное число можно обозначить символом X i .

Обозначим число повторений рассмотренных измерений буквой n. Тогда:

n 1 =4; n 2 =6; n 3 =9; n 4 =11; n 5 =3;n 6 =n n =1, а каждое число повторений можно обозначить как n i .

Общее число проведенных измерений, как следует из условия примера, есть 34. Это означает, что сумма всех n равна 34. Или в символическом выражении:

Обозначим эту сумму одной буквой - n. Тогда исходные данные рассматриваемого примера можно записать в таком виде (табл. 1).

Полученная группа чисел есть преобразованный ряд хаотически рассеянных показаний, полученных тренером в начале работы.

Таблица 1

Такая группа представляет собой определенную систему, параметры которой характеризуют проведенные измерения. Числа, представляющие собой результаты измерений (х i), называют вариантами; n i - числа их повторений - называются частотами; n - сумма всех частот - есть объем совокупности.

Вся полученная система называется вариационным рядом. Иногда эти ряды называются эмпирическими или статистическими.

Нетрудно заметить, что возможен частный случай вариационного ряда, когда все частоты равны единице n i ==1, то есть каждое измерение в данной группе чисел встретилось только один раз.

Полученный вариационный ряд, как и всякий другой, можно представить графически. Для построения графика полученного ряда, необходимо прежде всего условиться о масштабе на горизонтальной и вертикальной оси.

В данной задаче на горизонтальной оси будем откладывать значения времени восстановления пульса (х 1) таким образом, что единице длины, избранной произвольно, соответствует значение одной секунды. Откладывать эти значения начнем с 70 секунд, условно отступая от места пересечения двух осей 0.

На вертикальной оси отложим значения частот нашего ряда (n i), принимая масштаб: единица длины равна единице частоты.

Подготовив таким образом условия для построения графика, приступаем к работе с полученным вариационным рядом.

Первую пару чисел х 1 =74, n 1 =4 наносим на график так: на оси х; находим х 1 =74 и восстанавливаем перпендикуляр из этой точки, на оси n находим n 1 =4 и проводим из нее горизонтальную линию до пересечения с восстановленным прежде перпендикуляром. Обе линии-вертикаль и горизонталь-являются линиями вспомогательными и потому наносятся на рисунок пунктиром. Точка их пересечения представляет собой в масштабе данного графика соотношение Х 1 =74 и n 1 =4.

Таким же образом наносятся все остальные точки графика. Затем они соединяются отрезками прямых. Для того чтобы график имел замкнутый вид, крайние точки соединяем отрезками с соседними точками горизонтальной оси.

Полученная фигура есть график нашего вариационного ряда (рис. 1).

Совершенно понятно, что каждый вариационный ряд представляется своим собственным графиком.

Рис. 1. Графическое представление вариационного ряда.

На рис. 1 видно:

1) из всех обследованных наибольшую группу составили спортсмены, время восстановления пульса у которых 84 с;

2) у многих это время 81 с;

3) наименьшую группу составили спортсмены с малым временем восстановления пульса - 74 с и большим - 90 с.

Таким образом, выполнив серию испытаний, следует ранжировать полученные числа и составить вариационный ряд, представляющий собой определенную математическую систему. Для наглядности вариационный ряд можно иллюстрировать графиком.

Приведенный выше вариационный ряд называется еще дискретным рядом - таким, у которого каждый вариант выражен одним числом.

Приведем еще несколько примеров на составление вариационных рядов.

Пример 3. 12 стрелков, выполняя упражнение лежа из 10 выстрелов, показали такие результаты (в очках):

94; 91; 96; 94; 94; 92; 91; 92; 91; 95; 94; 94.

Для образования вариационного ряда произведем ранжирование данных чисел;

94; 94; 94; 94; 94;

После ранжирования составляем вариационный ряд (табл. 3).

Совокупность предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком или свойством качественного или количественного характера, называется объектом наблюдения .

Всякий объект статистического наблюдения состоит из отдельных элементов - единиц наблюдения .

Результаты статистического наблюдения представляют собой числовую информацию - данные . Статистические данные - это сведения о том, какие значения принял интересующий исследователя признак в статистической совокупности.

Если значения признака выражаются числами, то признак называется количественным .

Если признак характеризует некоторое свойство или состояние элементов совокупности, то признак называется качественным .

Если исследованию подлежат все элементы совокупности (сплошное наблюдение), то статистическую совокупность называют генеральной.

Если исследованию подлежит часть элементов генеральной совокупности, то статистическую совокупность называют выборочной (выборкой) . Выборка из генеральной совокупности извлекается случайно, так чтобы каждый из n элементов выборки имел равные шансы быть отобранным.

Значения признака при переходе от одного элемента совокупности к другому изменяются (варьируют), поэтому в статистике различные значения признака также называют вариантами . Варианты обычно обозначаются малыми латинскими буквами x, y, z.

Порядковый номер варианта (значения признака) называется рангом . x 1 - 1-й вариант (1-е значение признака), x 2 - 2-й вариант (2-е значение признака), x i - i-й вариант (i-е значение признака).

Упорядоченный в порядке возрастания или убывания ряд значений признака (вариантов) с соответствующими им весами называется вариационным рядом (рядом распределения).

В качестве весов выступают частоты или частости.

Частота (m i) показывает сколько раз встречается тот или иной вариант (значение признака) в статистической совокупности.

Частость или относительная частота (w i) показывает, какая часть единиц совокупности имеет тот или иной вариант. Частость рассчитывается как отношение частоты того или иного варианта к сумме всех частот ряда.

. (6.1)

Сумма всех частостей равна 1.

. (6.2)

Вариационные ряды бывают дискретными и интервальными.

Дискретные вариационные ряды строят обычно в том случае, если значения изучаемого признака могут отличаться друг от друга не менее чем на некоторую конечную величину.

В дискретных вариационных рядах задаются точечные значения признака.

Общий вид дискретного вариационного ряда указан в таблице 6.1.

Таблица 6.1

где i = 1, 2, … , l.

В интервальных вариационных рядах в каждом интервале выделяют верхнюю и нижнюю границы интервала.

Разность между верхней и нижней границами интервала называют интервальной разностью или длиной (величиной) интервала .

Величина первого интервала k 1 определяется по формуле:

k 1 = а 2 - а 1 ;

второго: k 2 = а 3 - а 2 ; …

последнего: k l = a l - a l -1 .

В общем виде интервальная разность k i рассчитывается по формуле:

k i = x i (max) - x i (min) . (6.3)

Если интервал имеет обе границы, то его называют закрытым .

Первый и последний интервалы могут быть открытыми , т.е. иметь только одну границу.

Например, первый интервал может быть задан как "до 100", второй - "100-110", … , предпоследний - "190-200", последний - "200 и более". Очевидно, что первый интервал не имеет нижней границы, а последний - верхней, оба они - открытые.

Часто открытые интервалы приходится условно закрывать. Для этого обычно величину первого интервала принимают равной величине второго, а величину последнего - величине предпоследнего. В нашем примере величина второго интервала равна 110-100=10, следовательно, нижняя граница первого интервала условно составит 100-10=90; величина предпоследнего интервала равна 200-190=10, следовательно, верхняя граница последнего интервала условно составит 200+10=210.

Кроме этого, в интервальном вариационном ряде могут встречаются интервалы разной длины. Если интервалы в вариационном ряде имеют одинаковую длину (интервальную разность), их называют равновеликими , в противном случае - неравновеликими.

При построении интервального вариационного ряда часто встает проблема выбора величины интервалов (интервальной разности).

Для определения оптимальной величины интервалов (в том случае, если строится ряд с равными интервалами) применяют формулу Стэрджесса:

, (6.4)

где n - число единиц совокупности,

x (max) и x (min) - наибольшее и наименьшее значения вариантов ряда.

Для характеристики вариационного ряда наряду с частотами и частостями используются накопленные частоты и частости.

Накопленные частоты (частости) показывают сколько единиц совокупности (какая их часть) не превышают заданного значения (варианта) х.

Накопленные частоты (v i ) по данным дискретного ряда можно рассчитать по следующей формуле:

. (6.5)

Для интервального вариационного ряда - это сумма частот (частостей) всех интервалов, не превышающих данный.

Дискретный вариационный ряд графически можно представить с помощьюполигона распределения частот или частостей .

При построении полигона распределения по оси абсцисс откладываются значения признака (варианты), а по оси ординат - частоты или частости. На пересечении значений признака и соответствующих им частот (частостей) откладываются точки, которые, в свою очередь, соединяются отрезками. Получающаяся таким образом ломаная называется полигоном распределения частот (частостей).

Интервальные вариационные ряды графически можно представить с помощью гистограммы , т.е. столбчатой диаграммы.

При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются значения изучаемого признака (границы интервалов).

В том случае, если интервалы - одинаковой величины, по оси ординат можно откладывать частоты или частости.

Если же интервалы имеют разную величину, по оси ординат необходимо откладывать значения абсолютной или относительной плотности распределения.

Абсолютная плотность - отношение частоты интервала к величине интервала:

; (6.6)

где: f(a) i - абсолютная плотность i-го интервала;

m i - частота i-го интервала;

k i - величина i-го интервала (интервальная разность).

Абсолютная плотность показывает, сколько единиц совокупности приходится на единицу интервала.

Относительная плотность - отношение частости интервала к величине интервала:

; (6.7)

где: f(о) i - относительная плотность i-го интервала;

w i - частость i-го интервала.

Относительная плотность показывает, какая часть единиц совокупности приходится на единицу интервала.

И дискретные и интервальные вариационные ряды графически можно представить в виде кумуляты и огивы.

При построении кумуляты по данным дискретного ряда по оси абсцисс откладываются значения признака (варианты), а по оси ординат - накопленные частоты или частости. На пересечении значений признака (вариантов) и соответствующих им накопленных частот (частостей) строятся точки, которые, в свою очередь, соединяются отрезками или кривой. Получающаяся таким образом ломаная (кривая) называется кумулятой (кумулятивной кривой).

При построении кумуляты по данным интервального ряда по оси абсцисс откладываются границы интервалов. Абсциссами точек являются верхние границы интервалов. Ординаты образуют накопленные частоты (частости) соответствующих интервалов. Часто добавляют еще одну точку, абсциссой которой является нижняя граница первого интервала, а ордината равна нулю. Соединяя точки отрезками или кривой, получим кумуляту.

Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что на оси абсцисс наносятся точки, соответствующие накопленным частотам (частостям), а по оси ординат - значения признака (варианты).

Пример решения контрольной работы по математической статистике

Задача 1

Исходные данные : студенты некоторой группы, состоящей из 30 человек сдали экзамен по курсу «Информатика». Полученные студентами оценки образуют следующий ряд чисел:

I. Составим вариационный ряд

II. Графическое представление статистических сведений.

III. Числовые характеристики выборки.

1. Среднее арифметическое

2. Среднее геометрическое

3. Мода

4. Медиана

222222333333333 | 3 34444444445555

5. Выборочная дисперсия

7. Коэффициент вариации

8. Ассиметрия

9. Коэффициент ассиметрии

10. Эксцесс

11. Коэффициент эксцесса

Задача 2

Исходные данные : студенты некоторой группы написали выпускную контрольную работу. Группа состоит из 30 человек. Набранные студентами баллы образуют следующий ряд чисел

Решение

I. Так как признак принимает много различных значений, то для него построим интервальный вариационный ряд. Для этого сначала зададим величину интервала h . Воспользуемся формулой Стэрджера

Составим шкалу интервалов. При этом за верхнюю границу первого интервала примем величину, определяемую по формуле:

Верхние границы последующих интервалов определим по следующей рекуррентной формуле:

, тогда

Построение шкалы интервалов заканчиваем, так как верхняя граница очередного интервала стала больше или равна максимальному значению выборки
.

II. Графическое отображение интервального вариационного ряда

III. Числовые характеристики выборки

Для определения числовых характеристик выборки составим вспомогательную таблицу

1. Среднее арифметическое

2. Среднее геометрическое

3. Мода

4. Медиана

10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20

5. Выборочная дисперсия

6. Выборочное стандартное отклонение

7. Коэффициент вариации

8. Ассиметрия

9. Коэффициент ассиметрии

10. Эксцесс

11. Коэффициент эксцесса

Задача 3

Условие : цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение.

Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х , которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения

,

где
- длина интервала, в котором заключены возможные значения Х ; вне этого интервала
В данной задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х , равна 0,1, поэтому

Ошибка отсчета превысит 0,02 если она будет заключена в интервале (0,02; 0,08). Тогда

Ответ: р =0,6

Задача 4

Исходные данные: математическое ожидание и стандартное отклонение нормально распределенного признака Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, чтов результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

Решение.

Воспользуемся формулой

И теоретическими частотами

Для Х ее математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Решение . Найдем функцию распределения F(x) случайной величины... ошибка выборки). Составим вариационный ряд Ширина интервала составит : Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество...

Совокупность значений изученного в данном эксперименте или наблюдении параметра, проранжированных по величине (возрастания или убывания) называется вариационным рядом.

Предположим, что мы измерили артериальное давление у десяти пациентов с целью получить верхний порог АД: систолическое давление, т.е. только одно число.

Представим, что серия наблюдений (статистическая совокупность) артериального систолического давления в 10-ти наблюдениях имеет следующий вид (табл. 1):

Таблица 1

Составляющие вариационного ряда называются вариантами. Варианты представляют собой числовое значение изучаемого признака.

Построение из статистической совокупности наблюдений вариационного ряда - только первый шаг к осмыслению особенностей всей совокупности. Далее необходимо определить средний уровень изучаемого количественного признака (средний уровень белка крови, средний вес пациентов, среднее время наступления наркоза и т.д.)

Средний уровень измеряют с помощью критериев, которые носят название средних величин. Средняя величина - обобщающая числовая характеристика качественно однородных величин, характеризующая одним числом всю статистическую совокупность по одному признаку. Средняя величина выражает то общее, что характерно для признака в данной совокупности наблюдений.

Общеупотребительными являются три вида средних величин: мода (), медиана () и среднеарифметическая величина ().

Для определения любой средней величины необходимо использовать результаты индивидуальных наблюдений, записав их в виде вариационного ряда (табл. 2).

Мода - значение, наиболее часто встречающееся в серии наблюдений. В нашем примере мода = 120. Если в вариационном ряду нет повторяющихся значений, то говорят, что мода отсутствует. Если несколько значений повторяются одинаковое количество раз, то в качестве моды берут наименьшее из них.

Медиана - значение, делящее распределение на две равные части, центральное или срединное значение серии наблюдений, упорядоченных по возрастанию или убыванию. Так, если в вариационном ряду 5 значений, то его медиана равна третьему члену вариационного ряда, если в ряду четное количество членов, то медиана представляет собой среднее арифметическое двух его центральных наблюдений, т.е. если в ряду 10 наблюдений, то медиана равна среднему арифметическому 5 и 6 наблюдения. В нашем примере.

Заметим важную особенность моды и медианы: на их величины не оказывают влияние числовые значения крайних вариант.

Средняя арифметическая величина рассчитывается по формуле:

где - наблюденная величина в -том наблюдении, а - число наблюдений. Для нашего случая.

Средняя арифметическая величина обладает тремя свойствами:

Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду.

Средняя является обобщающей величиной и за средней не видны случайные колебания, различия в индивидуальных данных. Она отражает то типичное, что характерно для всей совокупности.

Сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю: . Отклонение вариант от средней обозначается.

Вариационный ряд состоит из вариант и соответствующих им частот. Из десяти полученных значений цифра 120 встретилась 6 раз, 115 - 3 раза, 125 - 1 раз. Частота () - абсолютная численность отдельных вариант в совокупности, указывающая, сколько раз встречается данная варианта в вариационном ряду.

Вариационный ряд может быть простым (частоты = 1) или сгруппированным укороченным, по 3-5 вариант. Простой ряд используется при малом числе наблюдений (), сгруппированный - при большом числе наблюдений ().