Методическая разработка урока.doc

Алексей Юлия Вадимовна , учитель информатики и математики

г.Константиновск Ростовской области

ГБОУ СПО РО «Константиновский педагогический колледж»

Дисциплина: дискретная математика

М. С. Спирина, П. А. Спирин «Дискретная математика»/ Москва: изд.центр «Академия», 2010 г.

Методическая разработка урока

2 курс Специальность: «Профессиональное обучение»

использование информационных технологий: при проведении урока использована презентация, тестирующие программы.

Цели урока: обобщить и систематизировать знания студентов по теме «», используя мультимедиа технологии.

Задачи урока:

Образовательные:

закрепить теоретические знания: понятие множества, элемент множества, виды множеств, отношения между множествами, операции над множествами;

сформировать умения применять полученные теоретические знания определения множества и его элементов, умения охарактеризовать множество, выполнять действия над множествами (объединение и пересечение), изображать множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна, применять данные знания для решения прикладных задач;

формировать информационно-коммуникативную компетенцию;

Развивающие:

развивать познавательный интерес, интеллектуальные и творческие способности учащихся;

формировать информационную культуру, овладение навыками контроля и самоконтроля;

осуществлять исследовательскую деятельность.

Воспитательные:

обучать самостоятельной деятельности по овладению знаниями;

формировать осознанные мотивы учения, самосовершенствования, самовоспитания;

воспитывать целеустремленность и настойчивость в достижении цели;

воспитывать взаимопомощь.

ЗУН + опыт деятельности. Мультимедиа технологии позволяют работать в индивидуальном темпе, осуществить дифференцированный подход, способствуют закреплению полученных знаний, а также выступают как источник дополнительной информации по предмету. Использование на уроке опорных конспектов – фрагментов рабочих тетрадей для студентов позволяют совершенствовать навыки контроля и самоконтроля, как способ самоорганизации труда и самообразования.

В ходе урока, учащиеся:

систематизируют свои знания по данной теме;

закрепят теоретические знания: понятие множества, элемент множества, виды множеств, отношения между множествами, операции над множествами;

закрепят умения применять полученные теоретические знания;

осуществят исследовательскую деятельность.

Оборудование урока. ПК учителя, мультимедиа проектор, персональные компьютеры учащихся.

Программное обеспечение : MS PowerPoint (2007). Презентация «Множества. Операции над множествами », опорные конспекты для студентов.

Презентация иллюстрирует основную информационную составляющую урока по теме «Множества. Операции над множествами », содержит задания для самостоятельной работы, занимательные задачи

Этапы урока

Повторение и закрепление теоретических знаний

В начале занятия проводится актуализация знаний, умений и навыков: учащиеся повторяют основные понятия теории множеств. Ответы учащихся сопровождаются показом слайдов презентации с четкими формулировками, определениями. (Слайды 1,2,4,5,6)

Историческая справка

В качестве дополнительного материала можно предложить студентам подготовить материал об основателе теории множеств Георге Канторе (слайд 6 ), и Леона́рде Э́йлере - швейцарском, немецком и российском математике, внёсшем значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук (слайд 28). (как домашнее задание к уроку).

Практикум решения упражнений

Данный урок является заключительным на этапе изучения темы «Теория множеств». По ходу урока студентам предлагается выполнение различных заданий по теме, которые выполняются в подготовленных фрагментах рабочих тетрадей (приложение 2), частично с проверкой и обсуждением. На этапе применения теоретических знаний для решения задач демонстрируются слайды с условиями для устного и письменного решения упражнений, идет обсуждение алгоритмов решения, в целях контроля и формирования навыков самоконтроля демонстрируются слайды с ответами и пояснениями.

Если первые упражнения требуют от учащихся знаний определения множества и его элементов, умения охарактеризовать множество, выполнять действия над множествами (объединение и пересечение), изображать множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна, то последующие требуют применения данные знаний для решения прикладных задач. Вторая часть урока посвящена решению прикладных задач, демонстрации наиболее рационального способа решения с использованием теории множеств (Слайды 29 - 39)

Контроль знаний и умений

Самый важный этап урока. Студенты на протяжении урока работают в рабочих тетрадях, выполняя предложенные задания. Частично в ходе урока производится проверка выполнения части упражнений и обсуждения способа решения, выявление пробелов и коррекция знаний. На заключительных этапах урока студентам предоставляется возможность реализовать в рамках самостоятельной работы, полученные на предыдущих этапах знания и умения, накопленный опыт. Отдельную часть заданий студентам предлагается выполнить самостоятельно, в конце урока дать оценку своей работе.

Рефлексия деятельности на уроке.

Оценка своего участия в работе на уроке по 10 бальной

шкале: 0/__________________/10 по критериям самооценки.

САМООЦЕНКА

10- хорошо знаю весь фактический материал, и участвовал в организации группы;

9 - хорошо знаю свой вопрос, и участвовал в работе на уроке;

8 - хорошо знаю весь фактический материал;

7 - хорошо знаю свой вопрос;

6 - знаю свой вопрос;

5 – знаю свой вопрос, но был пассивен;

4 – плохо знаю свой вопрос, но был активен в обсуждении других вопросов;

3 – плохо знаю свой вопрос, и был пассивен;

1,2 – не знаю свой вопрос, и был пассивен.

Оценка валеологической составляющей урока по Бланку рефлексивной оценки

Бланк рефлексивной оценки

Уважаемый студент! Для того, чтобы обучение приносило Вам больше пользы, радости, здоровья, мы просим вас выразить свое мнение об этом занятии при помощи ответов на вопросы данной анкеты. Внимательно прочитайте утверждения и предложенные варианты ответов, выберите наиболее подходящий и поставьте напротив его ² палочку ² (\). Заранее благодарим за искренние и точные ответы.

Обсуждение со студентами, какой урок они считают более эффективным – обычный или электронный, на каком они достигли лучших результатов: больше узнали, больше решили.

Заключение. Презентация – наиболее удачная форма подачи мультимедиа материала. Использование презентации на данном уроке позволяет провести обобщение изученного материала, демонстрировать способы решения задач с применением теории множеств, диаграмм Эйлера, показать поэтапное решение прикладных задач, преимущества использования графического способа решения. Все, это вызывает интерес, активизирует память, обеспечивает более эффективное усвоение материала, дает возможность организовать интересную самостоятельную работу, развивает образное мышление и способствует закреплению учебного материала.

Урок проходит в быстром темпе, экономия во времени позволяет выполнить большой объем разнообразной работы: рассмотреть виды множеств, отношения между множествами (не иметь общих элементов, быть подмножеством, быть равными, иметь общие элементы), организовать работу учащихся на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

Данный электронный материал можно использовать и на уроках, и на внеурочных занятиях. Презентация используется учащимися для самостоятельного повторения, закрепления или углубления своих знаний по теме «Теория множеств». Это особенно удобно для учащихся, пропустивших занятия по уважительной причине и желающим ликвидировать пробелы в знаниях.

Использованные источники и литература:

Спирина М.С., Спирин П.А. Дискретная математика. – М.: Издательский центр «Академия», 2011.

Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. - М.: Наука, 1965.

Q «Дискретная математика» (данный материал может быть полезен также учителям математики при изучении темы в школьном курсе математики). Мультимедиа технологии позволяют работать в индивидуальном темпе, осуществить дифференцированный подход, способствуют закреплению полученных знаний, а также выступают как источник дополнительной информации по предмету. Использование на уроке опорных конспектов – фрагментов рабочих тетрадей для студентов позволяют совершенствовать навыки контроля и самоконтроля, как способ самоорганизации труда и самообразования.

При проведении урока использована презентация, выполненная в программе PowerPoint. Презентация «Множества. Операции над множествами » содержит 40 слайдов, при разработке использованы на отдельных слайдах эффекты анимации, при ознакомлении их назначение вполне понятно. В заключении учебного занятия может быть проведено тестирование. К материалам прилагается тест, разработанный с помощью программной оболочки Айрен.

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ (3 ч) У р о к 1 Цели: познакомить учащихся с понятием множества, способами задания и описания множеств; учить задавать множества различными способами; развивать логическое мышление учащихся. Ход урока I. Изучение нового материала. 1. Знакомство с новым понятием начнем с рассмотрения становления и развития языка математики со времен Галилео Галилея (1564–1642) до наших дней. 2. Современный математический язык более краток и в первую очередь заменяет естественный, разговорный язык специальными буквенными и символьными выражениями. Он более формализован и унифицирован, то есть подходит к рассмотрению сразу многих однотипных случаев. Более 100 лет фундаментом современного математического языка являются простейшие понятия и обозначения языка теории множеств. 3. Множество состоит из элементов. Если этих элементов немного, то удобно все элементы просто перечислить в каком­нибудь порядке. Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены вместе в некоторое множество, такое перечисление производят внутри скобок { , }. Словесное, поэлементное описание множества, задание множества перечислением его элементов можно рассмотреть в таблице на с. 25 учебника. 4. Замечание 1 на с. 25 (прочитать в учебнике). 5. Множество, элементами которого являются числа, называется числовым. Для числовых множеств есть естественный порядок перечисления их элементов от меньшего числа к большему числу. 6. Рассмотреть решение примера 1 на с. 25–26 учебника. 7. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается символом – Ø. 8. Если число элементов множества достаточно велико (например, несколько десятков, сотен и т. д.) или если множество бесконечно (например, множество всех натуральных или множество всех целых чисел), то явное перечисление элементов такого множества невозможно. Способы задания, описания таких множеств весьма разнообразны. 9. Рассмотреть примеры в таблице на с. 26–27 учебника. 10. Рассмотреть примеры 2–3 на с. 28–29 учебника. 11. Такие словесные обороты, как «элемент х принадлежит множеству А» или «х является элементом множества А» в математике более кратко записывают так: x  A. Смысл знака принадлежности  легко запомнить:  – это перевернутая буква «Э», то есть буква, с которой начинается слово элемент. Знак  – это отрицание знака принадлежности . Запись x  A означает, что х не является элементом множества А. 12. Рассмотреть примеры использования этих знаков на с. 30 учебника. 13. Рассмотреть пример 4, с. 30 учебника. 14. Замечание 2 на с. 30 (прочитать в учебнике). II. Закрепление изученного материала. 1. Решить № 531 (a; б) на с. 112 задачника.

х х    0;   3 a) {6; 7; 8; …}, б) {–6; –5; –4; –3; –2; –1}. 2. Решить № 532 на с. 112 задачника. а) множество всех четных цифр. б) все числа вида х + 1, где х ненулевая цифра. в) множество натуральных чисел, кратных трем, которые меньше 31. г) заглавные буквы английского алфавита. 3. Решить письменно № 533 (а, б) на с.112.  a) 13 3 х  13; 1 4 . 3   (О т в е т:   х 1;  х    х 1 0;  х     х 1 х  х 1  4 2 х   1 х 5 1 5 1 5 ; 4 ]. 1 3 б) 0; 0 О т в е т: (–1; 2). 4. Решить устно №534 на с.112. а) нет, б) да, в) нет, г) да. 5. Решить № 535 (а, б) на с.112. а) Следует найти множество всех х таких, что является решением неравенства x2 ≤ 0, то есть надо решить данное неравенство. Его решением является одно число х = 0. О т в е т: {0}. б) Следует найти множество всех х таких, что являются решением неравенства x2 + 18x ≤ –81, то есть надо решить данное неравенство

x2 + 18x ≤ –81; x2 + 18x + 81 ≤ 0; y = x2 + 18x + 81 x2 + 18x + 81 = 0 D = 182 – 4  1  81 = 324 – 324 = 0 x     9. 18 2 Решением данного неравенства является одно число х = –9. О т в е т: {–9}. 5. Решить № 536 (б, г) на с.113. б) Нет. Подставим х = 0,7 в неравенство x2 + 16x ≤ –64. Получим неверное числовое неравенство 11,69 ≤ –64.  0,003999 2,999  0. г) Да. Подставим х = 1,001. Получим верное числовое неравенство О т в е т: б) нет; г) да. 6. Решить № 537 на с.113. a) x(x2 + 19) + 6 = (2x + 3)(3x + 2) – x2 x3 + 19x + 6 = 6x2 + 9x + 4x + 6 – x2 x3 + 19x + 6 – 6x2 – 9x – 4x – 6 + x2 = 0 x3 – 5x2 + 6x = 0 x1 = 0 D = 25 – 24 = 1 x2 = 3, x3 = 2. О т в е т: 0; 2; 3. б) M = {0; 2; 3}. в) {0; 2; 3}, {0; 3; 2}, {2; 0; 3}, {2; 3; 0}, {3; 2; 0}, {3; 0; 2}. г) 6. О т в е т: а) 0, 2, 3; б) M = {0; 2; 3}; в) {0; 2; 3}, {0; 3; 2}, {2; 0; 3}, {2; 3; 0}, {3; 2; 0}, {3; 0; 2}; г) 6. III. Итоги урока. Перечислить способы задания и описания множеств. Домашнее задание: изучить материал § 17 на с. 23–30 учебника; решить № 533 (в, г); № 535 (в, г); № 53 6 (а, г); №547 (б) на с. 112­114 задачника.

Множества и операции над ними

1. Основные понятия о множества.

1. Основные определения.

Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).

МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Примеры:

1. Множество студентов данной учебной группы.
2. Множество планет солнечной системы.
3. Множество букв русского алфавита.
4. Множество натуральных чисел.

Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.

Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.

Остановимся на символике, обычно использующейся при обращении с множествами.

Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A 1 ,B 1,…

Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a 1, b 1 ,…

В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ЧИСЛОВЫМИ. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения, вводимые для удобства пользования. Один из вариантов этих обозначений, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, выглядит следующим образом:

N – множество всех натуральных чисел;

Z c (или Z + или C + ) – множество всех целых неотрицательных чисел;

Z (или C) – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел;

R + - множество всех действительных положительных чисел.

По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:

1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.

1. Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ.

Пример 1.

Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

Пример 2.

Множество натуральных чисел бесконечно.

Пример 3.

Множество точек отрезка бесконечно.

3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком ∅ .

Пример 4.

Множество действительных корней уравнения x 2 +1=0.

Пример 5.

Множество людей, проживающих на Солнце.

В математике часто приходится определять принадлежность данного элемента конкретному множеству.

Пример 6.

Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака ∈ . В данном случае символическая запись будет такой: 5 ∈ N. Читается: “5 принадлежит множеству натуральных чисел”.

Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение “не принадлежит” записывается с помощью знака (реже ∉ ). Таким образом, здесь имеем: 5,2 ∉ N

Читается: “5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел”.

1.2 Способы задания множеств.

Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.

Пример 7.

Множество всех гласных букв русского алфавита:

A={а; я; у; ю; э; е;о; ё; и; ы}.

Пример 8.

Множество цифр десятичной системы счисления:

B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.

Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.

Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:

А={х│х обладает свойством Р}={ х│Р(х)}={х: Р(х)}.

Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.

Пример 9.

Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства:

В={х │х – чётное натуральное число}={х │ х=2k, k Є N}.

Пример 10.

Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:

R 1-3 ={y│1≤ y≤ 3, y Є R}.

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.

Пример 11.

Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.

Первый способ: N ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Второй способ: N ={z│z

Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

Пример 12.

Множество квадратов.

Первый способ: A={x│x – ромб с прямыми углами}.

Второй способ: A={ x│x – прямоугольник с равными сторонами}.

1.3 Отношения между множествами.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).

Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.

рис. 1.

1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} и Y={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.

X Y B 1 B 2

Рис. 2. рис. 3.

1. Пусть даны множества B 1 ={1; 2; 3} и B 2 ={4; 5; 6}.

Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B 1 и B 2 находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.

С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.

1. Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}.

Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.

Определение 1.1

Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.

Отношение “включено” обозначается знаком ⊂ .

Соответственно отношение “включает” – знаком ⊃ .

Определение 1.1 символически записывается так: В ⊂ А или А ⊃ В. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.

Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два

Множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ

ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: Ø ⊂ В ⊂ А, или иначе: А ⊃ В ⊃ Ø.

4. Пусть даны множества C={x; y; z}, D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С и D равны и пишут C=D.

Определение 1.2

Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.

Определение 1.3

Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.

Символически данное определение можно записать так:
С = D ⇔ С ⊂ D и D ⊂ С, или С = D ⇔ С ⊂ D ∧ D ⊂ С,
где знак ⇔ означает “эквивалентность” (равнозначность), а знак ∧ (конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.

С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.

Рис.5. рис.6.

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО

Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,…

Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…

Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.

2. Операции над множествами

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

2.1 Пересечение множеств

Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} иB={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

Определение 1.4

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: А ∩ В, где символ ∩ - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:

Р=А ∩ В= {x ⎪ x ∈ A и x ∈ B}={x ⎪ x ∈ A ∧ x ∈ B}. (1)

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:

(2)

Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак ∧ (конъюнкция, или логическое “и”):

X ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (2а)

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:

(3)

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком ∨ (дизъюнкция, логическое “или”):

Х ∉ А ∩ В ⇒ х ∉ А ∨ х ∉ В. (3а)

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7 ÷ 10 (пересечение заштриховано).

рис. 7 рис. 8 рис. 9 рис. 10

2.2 Объединение множеств

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 1.5

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А ∪ В, где ∪ - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:

С= А ∪ В={x ⎪ x ∈ A или x ∈ B}. (4)

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

(5)

а также знаком дизъюнкции

Х ∈ А ∪ В ⇒ х ∈ А ∨ х ∈ В. (5а)

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

(6)

или

X ∉ A ∪ B ⇒ x ∉ A ∧ x ∉ B. (6а)

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).

рис. 11 рис. 12 рис. 13 рис. 14

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

А ∪ А=А, А ∪∅ =А, А ∪ U=U. (7)

Замечание1.

Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

Р= А 1 ∩ А 2 ∩ … ∩ А n ={x ⎪ x ∈∀ A i , i= },

Где символ ∀ (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A i , которая принадлежит каждому множеству одновременно.

Замечание 2.

Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

C= A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ={x ⎪ x ∈ A 1 или x ∈ A 2 или …или x ∈ A n }.

Замечание 3.

Если в выражении есть знаки ∪ и ∩ и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

2.3 Разность множеств

Определение 1.6

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Символически разность двух множеств обозначается так:

А  В, где символ  является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:

C=A  B={x ⎪ x ∈ A и x ∉ B} (8)

Или

(9)

а также x ∈ A  B ⇒ x ∈ A ∧ x ∉ B. (9а)

Пример 1.

Если E 1 ={2; 4; 6} и E 2 ={6; 8; 10}, то E 3 =E 1  E 2 ={2; 4}, E 4 =E 2  E 1 ={8;10}.

Пример 2.

Если M 1 ={x 1 ; x 2 ; x 3 }, M 2 ={y 1 ; y 2 }, то M 3 =M 1  M 2 ={ x 1 ; x 2 ; x 3 },

M 4 =M 2  M 1 ={y 1 ; y 2 }.

Пример 3.

Если K 1 ={1; 3; 5; 7; 9}, K 2 ={5; 7; 1}, то K 3 =K 1  K 2 ={3; 9}, K 4 =K 2  K 1 = ∅ .

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15÷18, где множество А  В заштриховано.

рис. 15 рис. 16 рис. 17 рис. 18

2.4 Дополнение к множеству

Определение 1.7

Пусть В ⊂ А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или .

Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .

Определение 1.8

Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .

Это определение может быть записано в виде:

= {x ⎪ x ∉ A}. (10)

Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

Рис. 19 рис. 20

Урок в 4 классе.

Тема: Операции над множествами: объединение, пересечение.

Цели :

закрепить представление о множествах, подмножествах, пересечении двух множеств;

закрепить умение определять: характер отношений между множествами (множество-подмножество, имеют пересечение, не имеют пересечения);

научиться определять принадлежность объектов заданным множествам, в том числе подмножествам и пересекающимся множествам.

Ход урока

Организационный момент. Знакомство с темой и целями урока (слайд №1)

Актуализация знаний.

Учитель.

Ребята, сначала вспомним то, что вам уже известно о множествах.

Назовите элементы множества: (слайд №2)

Множество

Элементы множества

Количество элементов

Месяцев в году

Времен года

Зима, весна, лето, осень

Ученики в вашем классе

Гласные буквы в русском языке

Клеток на шахматном поле

Результатов деления чисел на ноль

Что такое пустое множество? Приведите пример.

Практическая работа.

1) Раздается всем задание №2

(Один ученик читает задание вслух. Учитель проводит инструктаж выполнения) Например: Ч айка – это птица, множество птиц обозначено «ромбиком», поэтому букву Ч нужно записать внутри ромба.

После выполнения работы дети обмениваются карточками с выполненным заданием, чтобы проверить. На доске показан правильный ответ (слайд№3) и дети проверяют ошибки соседа (если таковы есть). Ставят оценки.

2) Задание №3 (на доске слайд №4)

По заданию №3 ответьте на вопросы:

Какой рисунок соответствует понятию «множество и его подмножество»? (2)

Какой рисунок соответствует понятию «два множества, имеющих пересечение»? (1)

Какой рисунок соответствует понятию «два множества не имеющих пересечения»? (3)

Правильно, а теперь возьмите, пожалуйста, фломастер и проведите стрелку от рисунка к подходящей паре множеств. (после выполнения задания дети обмениваются листочками и проверяют, обращая внимание на ответ на доске,(слайд№4) ставят оценку).

Ребята, а какие ещё подмножества есть у множества животных? (Подмножества птиц, рыб, насекомых, …)

Назовите животное, которое:

является зверем и обитает в море (дельфин, тюлень, морской лев, кит, …);

обитает в море, но не зверь (осьминог, краб, акула, …);

зверь, но не обитатель моря (медведь, тигр, заяц, …)

Показать на 1-ой картинке на место пересечения множеств и задать вопрос, какой элемент здесь может «жить» (дельфин).

3) Игра «Назови подмножество»

Класс делится на две команды, каждая команда придумывает себе имя, выбираются эксперты от каждой команды, которые будут подсчитывать и отмечать на листочке все правильные ответы своей команды (можно за правильный ответ команды ставить на листочке просто палочку).

Учитель называет множество, а команды по очереди называют его возможные подмножества (эксперт участвует в работе команды и помечает на листочке все правильные ответы).

Множество фильмов – подмножества комедий, боевиков, индийские фильмы, фильмы сказки;

Множество букв – подмножество гласных и согласных букв;

Множество городов – подмножество европейских городов, столиц, областных центров;

Множество людей в школе – подмножество учителей и учеников;

Множество автомобилей – подмножество легковых, грузовых, иномарок;

Множество мебель – подмножество стульев, столов, шкафов.

Физкультминутка

Ветер дует нам в лицо,

И качает деревцо,

Ветерок все тише, тише…

Деревцо все выше, выше…

Самостоятельная работа.

Дети рассаживаются за компьютеры, открывают программу «Мир информатики 3 год обучения», тему «Отношения между множествами. Объединение множеств.» и выполняют все задания. Кто справился раньше, тот получает дополнительное задание №4 на листочках.

Подведение итогов урока:

Ребята, сегодня вы вспомнили, что различные множества отличаются числом элементов, что одно множество может пересекаться с другим или быть его подмножеством.

Домашнее задание №7 (слайд №5).

Рефлексия.

Ребята, а вы довольны своей работой на уроке сегодня? Какую бы вы оценку себе поставили? Нарисуйте «рожицу» (слайд №6)с вашей оценкой на своих рабочих листочках, подпишите их и сдайте мне.