Квадратным трехчленом называют трехчлен вида a*x 2 +b*x+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем число а не должно равняться нулю.

Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.

Корнем квадратного трехчлена a*x 2 +b*x+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x 2 +b*x+c обращается в нуль.

Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена необходимо решить квадратное уравнение вида a*x 2 +b*x+c=0.

Как найти корни квадратного трехчлена

Для решения можно использовать один из известных способов.

• 1 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.

1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b 2 -4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня.

x = -b±√D / 2*a

Если D < 0, то квадратный трехчлен имеет один корень.

Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней.

• 2 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата. Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение, уравнение у которого на старший коэффициент равен единице.

Найдем корни квадратного трехчлена x 2 +2*x-3. Для этого решим следующее квадратное уравнение: x 2 +2*x-3=0;

Преобразуем это уравнение:

В левой части уравнения стоит многочлен x 2 +2*x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффицент равный 1. Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:

(x 2 +2*x+1) -1=3

То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена

Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.

В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.

Ответ: х=1, х=-3.

В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.

Найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения. Используя формулы (59.8) для корней приведенного уравнения, получим

(первое равенство очевидно, второе получается после несложного вычисления, которое читатель проведет самостоятельно; удобно использовать формулу для произведения суммы двух чисел на их разность).

Доказана следующая

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.

В случае неприведенного квадратного уравнения следует в формулы (60.1) подставить выражения формулы (60.1) примут вид

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

Решение, а) Находим уравнение имеет вид

Пример 2. Найти сумму квадратов корней уравнения не решая самого уравнения.

Решение. Известны сумма и произведение корней. Представим сумму квадратов корней в виде

и получим

Из формул Виета легко получить формулу

выражающую правило разложения квадратного трехчлена на множители.

В самом деле, напишем формулы (60.2) в виде

Теперь имеем

что и требовалось получить.

Вышеуказанный вывод формул Виета знаком читателю из курса алгебры средней школы. Можно дать другой вывод, использующий теорему Безу и разложение многочлена на множители (пп. 51, 52).

Пусть корни уравнения тогда по общему правилу (52.2) трехчлен в левой части уравнения разлагается на множители:

Раскрывая скобки в правой части этого тождественного равенства, получим

и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях даст нам формулы Виета (60.1).

Преимущество этого вывода состоит в том, что его можно применить и к уравнениям высших степеней с тем, чтобы получить выражения коэффициентов уравнения через его корни (не находя самих корней!). Например, если корни приведенного кубического уравнения

суть то согласно равенству (52.2) находим

(в нашем случае Раскрыв скобки в правой части равенства и собрав коэффициенты при различных степенях получим

Тип урока: урок закрепления и систематизации знаний.

Вид урока: Проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий.

Цели:

Оборудование: дидактический материал для устной работы, самостоятельной работы, тестовые задания для проверки знаний, карточки с домашним заданием, учебник по алгебре Ю.Н. Макарычева.

План урока.

Ход урока

I. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы.

Организационный момент.

Сегодня на уроке мы проведем обобщение и систематизацию знаний по теме: “Разложение квадратного трехчлена на множители”. Выполняя различные упражнения, вы должны отметить для себя моменты, на которые вам необходимо уделить особое внимание при решении уравнений и практических задач. Это очень важно при подготовке к экзамену.
Запишите тему урока: “Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение примеров”.

II. Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о формуле разложения квадратного трехчлена на множители.

Устная работа.

– Для успешного разложения квадратного трехчлена на множители нужно помнить как формулы нахождения дискриминанта и формулы нахождения корней квадратного уравнения, формулу разложения квадратного трехчлена на множители и применять их на практике.

1. Посмотрите на карточки “Продолжите или дополните утверждение”.

2. Посмотрите на доску.

1. Какой из предложенных многочленов не является квадратным?

1) х 2 – 4х + 3 = 0;
2) – 2х 2 +х – 3 = 0;
3) х 4 – 2х 3 + 2 = 0;
4) 2х 3 – 2х 2 + 2 = 0;

Дайте определение квадратного трехчлена. Дайте определение корня квадратного трехчлена.

2. Какая из формул не является формулой для вычисления корней квадратного уравнения?

1) х 1,2 = ;
2) х 1,2 = – b + ;
3) х 1,2 = .

3. Найти коэффициенты а, b, с квадратного трехчлена – 2х 2 + 5х + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Какая из формул является формулой для вычисления корней квадратного уравнения

x 2 + px+ q = 0 по теореме Виета?

1) x 1 + x 2 = p ,
x 1 · x 2 = q .

2) x 1 + x 2 = – p ,
x 1 · x 2 = q .

3) x 1 + x 2 = – p ,
x 1 · x 2 = – q .

5. Разложить квадратный трехчлен х 2 – 11х + 18 на множители.

Ответ: (х – 2)(х – 9)

6. Разложить квадратный трехчлен у 2 – 9у + 20 на множители

Ответ: (х – 4)(х – 5)

III. Формирование умений и навыков. Закрепление изученного материала.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) 3x 2 – 8x + 2;
б) 6x 2 – 5x + 1;
в) 3x 2 + 5x – 2;
г) -5x 2 + 6x – 1.

2. Разложение на множители помогает нам при сокращении дробей.

3. Не используя формулу корней, найдите корни квадратного трехчлена:
а) x 2 + 3x + 2 = 0;
б) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Составьте квадратный трехчлен, корнями которого являются числа:
а) x 1 = 4; x 2 = 2;
б) x 1 = 3; x 2 = -6;

Самостоятельная работа.

Самостоятельно по вариантам выполнить задание с последующей проверкой. На первые два задания необходимо дать ответ “Да” или “нет”. Вызываются по одному ученику от каждого варианта (они работают на отворотах доски). После того как самостоятельная работа выполнена на доске, проводится совместная проверка решения. Учащиеся оценивают свои работы.

1-й вариант:

1. D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Число 2 является корнем уравнения х 2 + 3х – 10 = 0.

3. Разложить квадратный трехчлен на множители 6x 2 – 5x + 1;

2-й вариант:

1. D>0. Уравнение имеет 2 корня.

2.Число 3 является корнем квадратного уравнения х 2 – х – 12 = 0.

3.Разложить квадратный трехчлен на множители 2х 2 – 5х + 3

IV. Проверка усвоения знаний. Рефлексия.

– Урок показал, что вы знаете основной теоретический материал этой темы. Мы обобщили знания

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.