Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора Вы сможете:

• построить вариационный ряд , построить гистограмму и полигон;
• найти показатели вариации (среднюю, моду (в т.ч. и графическим способом), медиану, размах вариации, квартили, децили, квартильный коэффициент дифференциации, коэффициент вариации и другие показатели);

Инструкция . Для группировки ряда необходимо выбрать вид получаемого вариационного ряда (дискретный или интервальный) и указать количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример группировки статистических данных).

Если группировка уже осуществлена и заданы дискретный вариационный ряд или интервальный ряд , то необходимо воспользоваться онлайн-калькулятором Показатели вариации . Проверка гипотезы о виде распределения производится с помощью сервиса Изучение формы распределения .

Виды статистических группировок

1. Типологическая группировка – это разделение исследуемой качественно разнородной совокупности на классы, социально–экономические типы, однородные группы единиц. Для построения данной группировки используйте параметр Дискретный вариационный ряд.
2. Структурной называется группировка , в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому–либо варьирующему признаку. Для построения данной группировки используйте параметр Интервальный ряд.
3. Группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками, называется аналитической группировкой (см. аналитическая группировка ряда).

Принципы построения статистических группировок

При использовании персональных компьютеров для обработки статистических данных группировка единиц объекта производится с помощью стандартных процедур.
Одна из таких процедур основана на использовании формулы Стерджесса для определения оптимального числа групп:

k = 1+3,322*lg(N)

Где k – число групп, N – число единиц совокупности.

Длину частичных интервалов вычисляют как h=(x max -x min)/k

Затем подсчитывают числа попаданий наблюдений в эти интервалы, которые принимают за частоты n i . Малочисленные частоты, значения которых меньше 5 (n i < 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
В качестве новых значений вариант берут середины интервалов x i =(c i-1 +c i)/2.

При обработке больших массивов информации, что особенно актуально при проведении современных научных разработок, перед исследователем стоит серьезная задача правильной группировки исходных данных. Если данные имеют дискретный характер, то проблем, как мы видели, не возникает – необходимо просто подсчитать частотукаждого признака. Если же исследуемый признак имеет непрерывный характер (что имеет большее распространение на практике), то выбор оптимального числа интервалов группировки признака является отнюдь не тривиальной задачей.

Для группировки непрерывных случайных величин весь вариационный размах признакаразбивают на некоторое количество интервалов к.

Сгруппированным интервальным (непрерывным ) вариационным рядом называют ранжированные по значению признака интервалы (), гдеуказанные вместе с соответствующими частотами () числа наблюдений, попавших в г"-й интервал, или относительными частотами ():

Гистограмма и кумулята {огива), уже подробно рассмотренные нами, являются прекрасным средством визуализации данных, позволяющим получить первичное представление о структуре данных. Такие графики (рис. 1.15) строятся для непрерывных данных так же, как и для дискретных, только с учетом того, что непрерывные данные сплошь заполняют область своих возможных значений, принимая любые значения.

Рис. 1.15.

Поэтому столбцы на гистограмме и кумуляте должны соприкасаться, не иметь участков, куда не попадают значения признака в пределах всех возможных (т.е. гистограмма и кумулята не должны иметь "дырок" по оси абсцисс, в которые не попадают значения изучаемой переменной, как на рис. 1.16). Высота столбика соответствует частоте– числу наблюдений, попавших в данный интервал, или относительной частоте– доле наблюдений. Интервалы не должны пересекаться и имеют, как правило, одинаковую ширину.

Рис. 1.16.

Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой плотности вероятности (дифференциальной функции) f(x) теоретического распределения, рассматриваемой в курсе теории вероятностей . Поэтому их построение имеет такое важное значение при первичной статистической обработке количественных непрерывных данных – по их виду можно судить о гипотетическом законе распределения.

Кумулята – кривая накопленных частот (частостей) интервального вариационного ряда. С кумулятой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x) , также рассматриваемой в курсе теории вероятностей.

В основном понятия гистограммы и кумуляты связывают именно с непрерывными данными и их интервальными вариационными рядами, так как их графики являются эмпирическими оценками функции плотности вероятности и функции распределения соответственно.

Построение интервального вариационного ряда начинают с определения числа интервалов k. И эта задача, пожалуй, является самой сложной, важной и неоднозначной в изучаемом вопросе.

Число интервалов не должно быть слишком малым, так как при этом гистограмма получается слишком сглаженной (oversmoothed), теряет все особенности изменчивости исходных данных – на рис. 1.17 можно увидеть, как те же данные, по которым построены графики рис. 1.15, использованы для построения гистограммы с меньшим числом интервалов (левый график).

В то же время число интервалов не должно быть слишком велико – иначе мы не сможем оценить плотность распределения изучаемых данных по числовой оси: гистограмма получится недосглажепная (undersmoothed), с незаполненными интервалами, неравномерная (см. рис. 1.17, правый график).

Рис. 1.17.

Как же определить наиболее предпочтительное число интервалов?

Еще в 1926 г. Герберт Стерджес (Herbert Sturges) предложил формулу для вычисления количества интервалов, на которые необходимо разбить исходное множество значений изучаемого признака . Эта формула поистине стала сверхпопулярной – большинство статистических учебников предлагают именно ее, по умолчанию ее используют и множество статистических пакетов. Насколько это оправдано и во всех ли случаях – является весьма серьезным вопросом.

Итак, на чем основана формула Стерджеса?

Рассмотрим биномиальное распределение .

Пример. Исследователя интересуют знания абитуриентов по математике. Выбирают 10 абитуриентов и записывают их школьные оценки по этому предмету. Получена следующая выборка: 5;4;4;3;2;5;4;3;4;5.

а) Представить выборку в виде вариационного ряда;

б) построить статистический ряд частот и относительных частот;

в) изобразить полигон относительных частот для полученного ряда.

а) Проведем ранжирование выборки, т.е. расположим члены выборки по неубыванию. Получаем вариационный ряд: 2; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5;5.

б) Построим статистический ряд частот (соответствие между вариантами выборки и их частотами) и статистический ряд относительных частот (соответствие между вариантами выборки и их относительными частотами)

Статистический ряд частот статистический ряд отн. частот

1+2+4+3=10=n 0,1+0,2+0,4+0,3=1.

Полигон относительных частот.

Описание изменений варьирующего признака осуществляется с помощью рядов распределения.

Статистический ряд распределения - это упорядоченное распределение единиц статистической совокупности на отдельные группы по определенному варьирующему признаку.

Статистические ряды, построенные по качественному признаку называют атрибутивными . Если в основе ряда распределения лежит количественный признак, то ряд является вариационным .

В свою очередь вариационные ряды делят на дискретные и интервальные. В основе дискретного ряда распределения лежит дискретный (прерывный) признак, принимающий конкретные числовые значения (число правонарушений, число обращений граждан за юридической помощью). Интервальный ряд распределения строится на основе непрерывного признака, который может принимать любые значения из заданного диапазона (возраст осужденного, срок лишения свободы и т.д.)

Любой статистический ряд распределения содержит два обязательных элемента – варианты ряда и частоты. Варианты (x i ) – отдельные значения признака, которые он принимает в ряду распределения. Частоты (f i ) – это числовые значения, показывающие сколько раз встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот называется объемом совокупности.

Частоты, выраженные в относительных единицах (долях или процентах) называются частостями (w i ). Сумма частостей равна единице, если Частости выражены в долях единицы, или 100, если они выражаются в процентах. Использование частостей позволяет производить сравнение вариационных рядов с разным объемом совокупности. Частости определяются по следующей формуле:

Для построения дискретного ряда ранжируются все встречающиеся в ряду индивидуальные значения признака, а затем подсчитываются частоты повторений каждого значения. Оформляется ряд распределения в идее таблицы, состоящей из двух строк и столбцов, в одной из которых приводятся значения вариантов ряда x i , во второй – значения частот f i .

Рассмотрим пример построения дискретного вариационного ряда.

Пример 3.1 . По данным УМВД зарегистрировано преступлений, совершенных в городе N несовершеннолетними в возрасте.

17 13 15 16 17 15 15 14 16 13 14 17 14 15 15 16 16 15 14 15 15 14 16 16 14 17 16 15 16 15 13 15 15 13 15 14 15 13 17 14.

Построить дискретный ряд распределения.

Решение .

Сначала необходимо проранжировать данные о возрасте несовершеннолетних, т.е. записать их в порядке возрастания.

13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17

Таблица 3.1

Таким образом, частоты отображают количество человек данного возраста, например, 5 человек имеют возраст 13 лет, 8 человек – 14 лет, и т.д.

Построение интервальных рядов распределения осуществляют аналогично выполнению равноинтервальной группировки по количественному признаку, то есть вначале определяют оптимальное число групп, на которые будет разбита совокупность, устанавливаются границы интервалов по группам и подсчитываются частоты.

Проиллюстрируем построение интервального ряда распределения на следующем примере.

Пример 3.2 .

Построить интервальный ряд по следующей статистической совокупности – заработной плате юриста в конторе, тыс. руб.:

16,0 22,2 25,1 24,3 30,5 32,0 17,0 23,0 19,8 27,5 22,0 18,9 31,0 21,5 26,0 27,4

Решение.

Примем оптимальное количество групп равноинтервальной группировки для данной статистической совокупности, равное 4 (у нас 16 вариантов). Следовательно, численность каждой группы равна:

а величина каждого интервала будет равна:

Границы интервалов определяем по формулам:

,

где - соответственно нижняя и верхняя границы i-го интервала.

Опуская промежуточные вычисления границ интервалов, заносим их значения (варианты) и количество юристов (частоты), имеющих з/п в пределах каждого интервала, в таблицу 3.2, которая и иллюстрирует полученный интервальный ряд.

Таблица 3.2

Анализ статистических рядов распределения может производиться с использованием графического метода. Графическое представление рядов распределения позволяет наглядно проиллюстрировать закономерности распределения исследуемой совокупности путем ее изображения в виде полигона, гистограммы и кумуляты. Остановимся на каждом из перечисленных графиков.

Полигон – ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x i ;f i ). Обычно полигон используют для изображения дискретных рядов распределения. Для его построения на оси абсцисс откладывают ранжированные индивидуальные значения признака x i , на оси ординат – соответствующие этим значениям частоты. В результате, соединив отрезками точки, соответствующие данным, отмеченным по осям абсцисс и ординат, получают ломаную, называемую полигоном. Приведем пример построения полигона частот.

Для иллюстрации построения полигона возьмем результат решения примера 3.1 на построение дискретного ряда – рисунок 1. По оси абсцисс отложен возраст осужденных, по оси ординат – количество несовершеннолетних осужденных, имеющих данный возраст. Анализируя данный полигон, можно сказать, что наибольшее количество осужденных – 14 человек, имеют возраст 15 лет.

Рисунок 3.1 – Полигон частот дискретного ряда.

Полигон можно построить и для интервального ряда, в этом случае по оси абсцисс откладывают середины интервалов, а по оси ординат – соответствующие им частоты.

Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы значения признака, а высоты равны соответствующим частотам. Гистограмма применяется только для изображения интервальных рядов распределения. Если интервалы являются неравными, то для построения гистограммы на оси ординат откладывают не частоты, а отношение частоты к ширине соответствующего интервала. Гистограмму можно преобразовать в полигон распределения, если середины ее столбиков соединить между собой отрезками.

Для иллюстрации построения гистограммы возьмем результаты построения интервального ряда из примера 3.2– рисунок 3.2.

Рисунок 3.2 – Гистограмма распределения заработной платы юристов.

Для графического изображения вариационных рядов также используют кумуляту. Кумулята – кривая, изображающая ряд накопленных частот и соединяющая точки с координатами (x i ;f i нак ). Накопленные частоты вычисляются последовательным суммированием всех частот ряда распределения и показывают число единиц совокупности, имеющих значение признака не больше, чем указанное. Проиллюстрируем вычисление накопленных частот для вариационного интервального ряда, представленного в примере 3.2 – таблица 3.3.

Таблица 3.3

Для построения кумуляты дискретного ряда распределения по оси абсцисс откладывают ранжированные индивидуальные значения признака, а по оси ординат – соответствующие им накопленные частоты. При построении кумулятивной кривой интервального ряда первая точка будет иметь абсциссу, равную нижней границе первого интервала, а ординату, равную 0. Все последующие точки должны соответствовать верхним граница интервалов. Построим кумуляту, используя данные таблицы 3.3 – рисунок 3.3.

Рисунок 3.3 – Кумулятивная кривая распределения заработной платы юристов.

Контрольные вопросы

1. Понятие статистического ряда распределения, его основные элементы.

2. Виды статистических рядов распределения. Их краткая характеристика.

3. Дискретные и интервальные ряды распределения.

4. Методика построения дискретных рядов распределения.

5. Методика построения интервальных рядов распределения.

6. Графическое изображение дискретных рядов распределения.

7. Графическое изображение интервальных рядов распределения.

Задачи

Задача 1 . Имеются следующие данные об успеваемости 25 студен­тов группы по ТГП в сессию: 5, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3, 5, 4, 2, 3, 3. Постройте дискретный вариационный ряд распределения студентов по баллам оценок, получен­ных в сессию. Для полученного ряда рассчитайте Частости, накопленные Частости, накопленные частоты. Сделайте выводы.

Задача 2 . В колонии содержатся 1000 осужденных, их распределение по возрасту представлено в таблице:

Изобразите данный ряд графически. Сделайте выводы.

Задача 3 . Имеются следующие данные о сроках лишения свободы заключенных:

5; 4; 2; 1; 6; 3; 4; 3; 2; 2; 3; 1; 17; 6; 2; 8; 5; 11; 9; 3; 5; 6; 4; 3; 10; 5; 25; 1; 12; 3; 3; 4; 9; 6; 5; 3; 4; 3; 5; 12; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 3; 12; 6.

Постройте интервальный ряд распределения заключенных по срокам лишения свободы. Сделайте выводы.

Задача 4 . Имеются следующие данные о распределении осужденных в области за изучаемый период по возрастным группам:

Изобразите данный ряд графически, сделайте выводы.