Что такое многочлен стандартного вида примеры. Многочлен и его стандартный вид
Например, выражения:
a - b + c , x 2 - y 2 , 5x - 3y - z - многочлены.
Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена . Рассмотрим многочлен:
7a + 2b - 3c - 11
выражения: 7a , 2b , -3c и -11 - это члены многочлена. Обратите внимание на член -11 . Он не содержит переменной. Такие члены, состоящие только из числа, называются свободными .
Принято считать, что любой одночлен - это частный случай многочлена, состоящий из одно члена. В этом случае одночлен является названием для многочлена с одним членом. Для многочленов, состоящих из двух и трёх членов, тоже есть специальные названия - двучлен и трёхчлен соответственно:
7a - одночлен
7a + 2b - двучлен
7a + 2b - 3c - трёхчлен
Подобные члены
Подобные члены - одночлены, входящие в многочлен, которые отличаются друг от друга только коэффициентом , знаком или совсем не отличаются (противоположные одночлены тоже можно назвать подобными). Например, в многочлене:
3a 2 b | + | 5abc 2 | + | 2a 2 b | - | 7abc 2 | - | 2a 2 b |
члены 3a 2 b , 2a 2 b и -2a 2 b , так же как и члены 5abc 2 и -7abc 2 - это подобные члены.
Приведение подобных членов
Если многочлен содержит подобные члены, то его можно привести к более простому виду путём соединения подобных членов в один. Такое действие называется приведением подобных членов . Первым делом заключим в скобки отдельно все подобные члены:
(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b ) + (5abc 2 - 7abc 2)
Чтобы соединить несколько подобных одночленов в один, надо сложить их коэффициенты, а буквенные множители оставить без изменений:
((3 + 2 - 2)a 2 b ) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b ) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2
Приведение подобных членов - это операция замены алгебраической суммы нескольких подобных одночленов одним одночленом.
Многочлен стандартного вида
Многочлен стандартного вида - это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, достаточно сделать приведение подобных членов. Например, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:
3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3
Сначала найдём подобные члены:
Если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же переменную, то его члены принято располагать от большей степени к меньшей. Свободный член многочлена, если он есть, ставится на последнее место - справа.
Например, многочлен
3x + x 3 - 2x 2 - 7
должен быть записан так:
x 3 - 2x 2 + 3x - 7
Одночлены, входящие в состав многочлена, называются его членами.
Примечание : если между стоит разность, она все равно считается суммой, а минус «забирает себе» один из членов многочлена. Например, \(4x^3 y-3ab\) можно записать вот так \(4x^3 y+(-3ab)\). Значит, его членами являются одночлены \(4x^3\) y и \(-3ab\) (а не \(4x^3y\) и \(3ab\), как можно было бы подумать).
Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом :
\(x^2-3x\); \(y+3z^5\); \(7b^2+12b^4\).
Если из трех – трехчленом :
\(x^2-3x+4\); \(5x^3-7a^2 b^4+5\); \(y+6b^4-6\).
Стандартный вид многочлена
Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду и среди них нет подобных, то говорят, что это многочлен стандартного вида .
Пример:
Нестандартный вид |
Стандартный вид |
\(6k^2 mk-8kmk^2+6kmk\) |
\(6k^2 m-2k^3 m\) |
\(16a^3 b-13a^3 b+4aba^2+4ab\) |
К стандартному виду может быть приведен любой многочлен.
Пример
. Приведите к стандартному виду \(3a^2 b+xy+2aba-5yx+xa\).
Решение:
\(3a^2 b+xy+2aba-5yx+ax=\) |
Сразу замечаем, что одночлены \(2aba\) и \(-5yx\) записаны не в . Исправляем это, преобразовывая каждый из них: |
|
\(=3a^2 b+xy+2a^2 b-5xy+ax=\) |
Определение 3.3. Одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и степеней с натуральным показателем.
Например, каждое
из выражений
,,
является одночленом.
Говорят, что одночлен имеет стандартный вид , если он содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, а каждое произведение одинаковых переменных в нем представлено степенью. Числовой множитель одночлена, записного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена . Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех его переменных.
Определение 3.4. Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена .
Подобные слагаемые – одночлены в многочлене – называют подобными членами многочлена .
Определение 3.5. Многочленом стандартного вида называют многочлен, в котором все слагаемые записаны в стандартном виде и приведены подобные члены. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
Например, – многочлен стандартного вида четвертой степени.
Действия над одночленами и многочленами
Сумму и разность многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида. При сложении двух многочленов записываются все их члены и приводятся подобные члены. При вычитании знаки всех членов вычитаемого многочлена меняются на противоположные.
Например:
Члены многочлена можно разбивать на группы и заключать в скобки. Поскольку это тождественное преобразование, обратное раскрытию скобок, то устанавливается следующее правило заключения в скобки : если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с их знаками; если перед скобками ставится знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками.
Например,
Правило умножения многочлена на многочлен : чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
Например,
Определение
3.6. Многочленом от одной переменной
степени
называют
выражение вида
где
–
любые числа, которые называют коэффициентами
многочлена
,
причем
,
–
целое неотрицательное число.
Если
,
то коэффициент
называютстаршим
коэффициентом многочлена
,
одночлен
–
его старшим
членом
,
коэффициент
–
свободным
членом
.
Если вместо
переменной
в многочлен
подставить действительное число
,
то в результате получится действительное
число
,
которое называютзначением
многочлена
при
.
Определение
3.7.
Число
называют
корнем
многочлена
,
если
.
Рассмотрим деление
многочлена
на многочлен,
гдеи
- натуральные числа. Деление возможно,
если степень многочлена-делимого
не меньше степени многочлена-делителя
,
то есть
.
Разделить многочлен
на многочлен
,
,–
значит найти два таких многочлена
и
,
чтобы
При этом многочлен
степени
называютмногочленом-частным
,
–
остатком
,
.
Замечание 3.2.
Если делитель
–
не нуль-многочлен, то деление
на
,
,
всегда выполнимо, а частное и остаток
определяются однозначно.
Замечание 3.3.
В случае, когда
при всех
,
то есть
говорят, что
многочлен
нацело делится
(или
делится
)
на многочлен
.
Деление многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел: сначала старший член многочлена-делимого делят на старший член многочлена-делителя, затем частное от деления этих членов, которое будет старшим членом многочлена-частного, умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. В результате получают многочлен – первый остаток, который делят на многочлен-делитель аналогичным образом и находят второй член многочлена-частного. Этот процесс продолжают до тех пор, пока получится нулевой остаток или степень многочлена остатка будет меньше степени многочлена-делителя.
При делении многочлена на двучлен можно воспользоваться схемой Горнера.
Схема Горнера
Пусть требуется разделить многочлен
на двучлен
.
Обозначим частное от деления как
многочлен
а остаток –
.
Значение
,
коэффициенты многочленов
,
и остаток
запишем в следующей форме:
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
В этой схеме каждый
из коэффициентов
,
,
,
…,
получается из предыдущего числа нижней
строки умножением на число
и прибавлением к полученному результату
соответствующего числа верхней строки,
стоящего над искомым коэффициентом.
Если какая-либо степень
в многочлене отсутствует, то соответствующий
коэффициент равен нулю. Определив
коэффициенты по приведенной схеме,
записываем частное
и результат деления,
если
,
или
,
если
,
Теорема 3.1.
Для того чтобы несократимая дробь
(
,
)
была корнем многочлена
с целыми коэффициентами, необходимо,
чтобы число
было делителем свободного члена
,
а число
- делителем старшего коэффициента
.
Теорема 3.2.
(Теорема
Безу
)
Остаток
от деления многочлена
на двучлен
равен значению многочлена
при
,
то есть
.
При делении
многочлена
на двучлен
имеем равенство
Оно справедливо,
в частности, при
,
то есть
.
Пример 3.2.
Разделить
на.
Решение. Применим схему Горнера:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
Пример 3.3.
Разделить
на.
Решение. Применим схему Горнера:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
,
Пример 3.4.
Разделить
на.
Решение.
В итоге получаем
Пример 3.5.
Разделить
на
.
Решение. Проведем деление многочленов столбиком:
|
Тогда получаем
.
Иногда бывает полезным представление многочлена в виде равного ему произведения двух или нескольких многочленов. Такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители . Рассмотрим основные способы такого разложения.
Вынесение общего множителя за скобки. Для того чтобы разложить многочлен на множители способом вынесения общего множителя за скобки, необходимо:
1) найти общий множитель. Для этого, если все коэффициенты многочлена – целые числа, в качестве коэффициента общего множителя рассматривают наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена, а каждую переменную, входящую во все члены многочлена, берут с наибольшем показателем, который она имеет в данном многочлене;
2) найти частное от деления данного многочлена на общий множитель;
3) записать произведение общего множителя и полученного частного.
Группировка членов. При разложении многочлена на множители способом группировки его члены разбиваются на две или более групп с таким расчетом, чтобы каждую из них можно было преобразовать в произведение, и полученные произведения имели бы общий множитель. После этого применяется способ вынесения за скобки общего множителя вновь преобразованных членов.
Применение формул сокращенного умножения. В тех случаях, когда многочлен, подлежащий разложению на множители, имеет вид правой части какой-либо формулы сокращенного умножения, его разложение на множители достигается применением соответствующей формулы, записанной в другом порядке.
Пусть
,
тогда справедливы следующиеформулы
сокращенного умножения:
Для
|
|
Если
|
|
Бином Ньютона: где
|
Введение новых вспомогательных членов. Данный способ заключается в том, что многочлен заменяется другим многочленом, тождественно равным ему, но содержащим другое число членов, путем введения двух противоположных членов или замены какого-либо члена тождественно равной ему суммой подобных одночленов. Замена производится с таким расчетом, чтобы к полученному многочлену можно было применить способ группировки членов.
Пример 3.6. .
Решение.
Все
члены многочлена содержат общий множитель
.
Следовательно,.
Ответ: .
Пример 3.7.
Решение.
Группируем
отдельно члены, содержащие коэффициент
,
и члены, содержащие
.
Вынося за скобки общие множители групп,
получаем:
.
Ответ:
.
Пример 3.8.
Разложить
на множители многочлен
.
Решение. Используя соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:
Ответ: .
Пример 3.9.
Разложить
на множители многочлен
.
Решение. Используя способ группировки и соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:
.
Ответ: .
Пример 3.10.
Разложить
на множители многочлен
.
Решение.
Заменим
на
,
сгруппируем члены, применим формулы
сокращенного умножения:
.
Ответ:
.
Пример 3.11. Разложить на множители многочлен
Решение.
Так
как
,,
,
то
На данном уроке мы вспомним основные определения данной темы и рассмотрим некоторые типовые задачи, а именно приведение многочлена к стандартному виду и вычисление численного значения при заданных значениях переменных. Мы решим несколько примеров, в которых будет применяться приведение к стандартному виду для решения разного рода задач.
Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами
Урок: Приведение многочлена к стандартному виду. Типовые задачи
Напомним основное определение: многочлен - это сумма одночленов. Каждый одночлен, входящий в состав многочлена как слагаемое называется его членом. Например:
Двучлен;
Многочлен;
Двучлен;
Поскольку многочлен состоит из одночленов, то первое действие с многочленом следует отсюда - нужно привести все одночлены к стандартному виду. Напомним, что для этого нужно перемножить все численные множители - получить численный коэффициент, и перемножить соответствующие степени - получить буквенную часть. Кроме того, обратим внимание на теорему о произведении степеней: при умножении степеней показатели их складываются.
Рассмотрим важную операцию - приведение многочлена к стандартному виду. Пример:
Комментарий: чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести к стандартному виду все одночлены, входящие в его состав, после этого, если есть подобные одночлены - а это одночлены с одинаковой буквенной частью - выполнить действия с ними.
Итак, мы рассмотрели первую типовую задачу - приведение многочлена к стандартному виду.
Следующая типовая задача - вычисление конкретного значения многочлена при заданных численных значениях входящих в него переменных. Продолжим рассматривать предыдущий пример и зададим значения переменных:
Комментарий: напомним, что единица в любой натуральной степени равна единице, а ноль в любой натуральной степени равен нулю, кроме того, напомним, что при умножении любого числа на ноль получаем ноль.
Рассмотрим ряд примеров на типовые операции приведения многочлена к стандартному виду и вычисление его значения:
Пример 1 - привести к стандартному виду:
Комментарий: первое действие - приводим одночлены к стандартному виду, нужно привести первый, второй и шестой; второе действие - приводим подобные члены, то есть выполняем над ними заданные арифметические действия: первый складываем с пятым, второй с третьим, остальные переписываем без изменений, так как у них нет подобных.
Пример 2 - вычислить значение многочлена из примера 1 при заданных значениях переменных:
Комментарий: при вычислении следует вспомнить, что единица в любой натуральной степени это единица, при затруднении вычислений степеней двойки можно воспользоваться таблицей степеней.
Пример 3 - вместо звездочки поставить такой одночлен, чтобы результат не содержал переменной :
Комментарий: независимо от поставленной задачи, первое действие всегда одинаково - привести многочлен к стандартному виду. В нашем примере это действие сводится к приведению подобных членов. После этого следует еще раз внимательно прочитать условие и подумать, каким образом мы можем избавиться от одночлена . очевидно, что для этого нужно к нему прибавить такой же одночлен, но с противоположным знаком - . далее заменяем звездочку этим одночленом и убеждаемся в правильности нашего решения.
В изучении темы о многочленах отдельно стоит упомянуть о том, что многочлены встречаются как стандартного, так и не стандартного вида. При этом многочлен нестандартного вида можно привести к стандартному виду. Собственно, этот вопрос и будем разбирать в данной статье. Закрепим разъяснения примерами с подробным пошаговым описанием.
Смысл приведения многочлена к стандартному виду
Немного углубимся в само понятие, действие – «приведение многочлена к стандартному виду».
Многочлены, подобно любым другим выражениям, возможно тождественно преобразовывать. Как итог, мы получаем в таком случае выражения, которые тождественно равны исходному выражению.
Определение 1
Привести многочлен к стандартному виду – означает замену исходного многочлена на равный ему многочлен стандартного вида, полученный из исходного многочлена при помощи тождественных преобразований.
Способ приведения многочлена к стандартному виду
Порассуждаем на тему того, какие именно тождественные преобразования приведут многочлен к стандартному виду.
Определение 2
Согласно определению, каждый многочлен стандартного вида состоит из одночленов стандартного вида и не имеет в своем составе подобных членов. Многочлен же нестандартного вида может включать в себя одночлены нестандартного вида и подобные члены. Из сказанного закономерно выводится правило, говорящее о том, как привести многочлен к стандартному виду:
- в первую очередь к стандартному виду приводятся одночлены, составляющие заданный многочлен;
- затем производится приведение подобных членов.
Примеры и решения
Разберем подробно примеры, в которых приведем многочлен к стандартному виду. Следовать будем правилу, выведенному выше.
Отметим, что иногда члены многочлена в исходном состоянии уже имеют стандартный вид, и остается только привести подобные члены. Случается, что после первого шага действий не оказывается подобных членов, тогда второй шаг пропускаем. В общих случаях необходимо совершать оба действия из правила выше.
Пример 1
Заданы многочлены:
5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 ,
0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 ,
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Необходимо привести их к стандартному виду.
Решение
рассмотрим сначала многочлен 5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 : его члены имеют стандартный вид, подобные члены отсутствуют, значит многочлен задан в стандартном виде, и никаких дополнительных действий не требуется.
Теперь разберем многочлен 0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 . В его состав входят нестандартные одночлены: 2 · a 3 · 0 , 6 и − b · a · b 4 · b 5 , т.е. имеем необходимость привести многочлен к стандартному виду, для чего первым действием преобразуем одночлены в стандартный вид:
2 · a 3 · 0 , 6 = 1 , 2 · a 3 ;
− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , таким образом получаем следующий многочлен:
0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0 , 8 + 1 , 2 · a 3 − a · b 10 .
В полученном многочлене все члены – стандартные, подобных членов не имеется, значит наши действия по приведению многочлена к стандартному виду завершены.
Рассмотрим третий заданный многочлен: 2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8
Приведем его члены к стандартному виду и получим:
2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Мы видим, что в составе многочлена имеются подобные члены, произведем приведение подобных членов:
2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = = 2 3 7 · x 2 - 1 6 7 · x 2 - 4 7 · x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 0 - x · y + 1 = x · y + 1
Таким образом, заданный многочлен 2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 принял стандартный вид − x · y + 1 .
Ответ:
5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 - многочлен задан стандартным;
0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0 , 8 + 1 , 2 · a 3 − a · b 10 ;
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .
Во многих задачах действие приведения многочлена к стандартному виду – промежуточное при поиске ответа на заданный вопрос. Рассмотрим и такой пример.
Пример 2
Задан многочлен 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 . 5 · z 2 + z 3 . Необходимо привести его к с стандартному виду, указать его степень и расположить члены заданного многочлена по убывающим степеням переменной.
Решение
Приведем члены заданного многочлена к стандартному виду:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .
Следующим шагом приведем подобные члены:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 · z 3 + z 3 + z 5 - 0 , 5 · z 2 = = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0 , 5 · z 2
Мы получили многочлен стандартного вида, что дает нам возможность обозначить степень многочлена (равна наибольшей степени составляющих его одночленов). Очевидно, что искомая степень равна 5 .
Остается только расположить члены по убывающим степеням переменных. С этой целью мы просто переставим местами члены в полученном многочлене стандартного вида с учетом требования. Таким образом, получим:
z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .
Ответ:
11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 , 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0 , 5 · z 2 , при этом степень многочлена – 5 ; в результате расположения членов многочлена по убывающим степеням переменных многочлен примет вид: z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter