Любая плоскость, перпендикулярная к прямой пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Признак перпендикулярности плоскостей

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны () (рис.28)

α – плоскость, в – перпендикулярная ей прямая, β – плоскость, проходящая через прямую в , и с – прямая, по которой пересекаются плоскости α и β.

Следствие. Если плоскость перпендикулярна к линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей

Задача 1 . Доказать, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.

Доказательство:

По аксиоме I существует точка, не принадлежащая прямой а. По теореме 2.1через точку В и прямую а можно провести плоскость α. (рис.29) По теореме 2.3 через точку А в плоскости α можно провести прямую а. По аксиоме С 1 существует точка С , не принадлежащая α. По теореме 15.1 через точку С и прямую а можно провести плоскость β. В плоскости β по теореме 2.3 через точку а можно провести прямую с а. Прямые в и с по построению имеют только одну общую точку А и обе перпендикулярны

Задача 2. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние3, 4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого – 3,9 м. Найдите длину перекладины.

АС = 5,8м, ВD = 3,9 м, АВ - ? (рис.30)

АЕ = АС – СЕ = АС – ВD = 5,8 – 3,9 = 1,9 (м)

По теореме Пифагора из ∆ АЕВ получаем:

АВ 2 = АЕ 2 + ЕВ 2 = АЕ 2 + СD 2 = (1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (м 2)

АВ = = 3,9 (м)

Задачи

Цель . Учиться анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы .

1. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

2. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найти отрезок СД, если:

1) АВ = 3см, ВС = 7см, АD = 1,5 см;

2) ВД = 9 см, АD = 5cм, ВС = 16см;

3) АВ = в, ВС = а, АD =d;

4) ВD = с, ВС = а, АD = d

3. Точка А находится на расстоянии a от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.

4. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

5. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, полагая, что проволока не провисает.

6. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найти проекции наклонных.

7. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 26 см больше другой. Проекции наклонных равны 12 см и 40 см. Найдите наклонные.

8. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся как 1:2 и проекции наклонных равны 1 см и 7 см.

9. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите

расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

10. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точек а и В до плоскости равны: 1) 3, 2 см и 5, 3 см;7, 4 см и 6, 1 см; 3) a и в.

11. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.

12. Отрезок длиной 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на расстояние 0,5 м и 0, 3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость..

13. Из точек А и В опущены перпендикуляры на плоскость. Найдите расстояние между точками А и В, если перпендикуляры равны 3 м и 2 м, расстояние между их основаниями равно 2,4 м, а отрезок АВ не пересекает плоскость.

14. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если:1) АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м; 2) АС = 3 м, ВD = 4 м, СD = 12 м; 3) АD = 4 м, ВС = 7 м, СD = 1 м; 4) АD = ВС = 5 м, СD = 1 м; 4) АС = а, ВD = в, СD = с; 5) АD = а, ВС = в, СD = с.

15.Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА 1 и ВВ 1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А 1 В 1 , если АВ = 2 м, СА 1 = 3 м, СВ 1 = 7 м и отрезок А 1 В 1 не пересекает плоскость треугольника

16. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА 1 и ВВ 1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А 1 В 1 , если А 1 С = 4 м, АА 1 = 3 м, СВ 1 = 6 м, ВВ 1 = 2 м и отрезок А 1 В 1 не пересекает плоскость треугольника.

Понятие перпендикулярных плоскостей

При пересечении двух плоскостей у нас получается $4$ двугранных угла. Два угла равны $\varphi $, а два другие равны ${180}^0-\varphi $.

Определение 1

Углом между плоскостями называется минимальный из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Определение 2

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между этими плоскостями равен $90^\circ$ (рис. 1).

Рисунок 1. Перпендикулярные плоскости

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Теорема 1

Если прямая плоскости перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны друг другу.

Доказательство.

Пусть нам даны плоскости $\alpha $ и $\beta $, которые пересекаются по прямой $AC$. Пусть прямая $AB$, лежащая в плоскости $\alpha $ перпендикулярна плоскости $\beta $ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\beta $, то она перпендикулярна и прямой $AC$. Проведем дополнительно прямую $AD$ в плоскости $\beta $, перпендикулярно прямой $AC$.

Получаем, что угол $BAD$ - линейный угол двугранного угла, равный $90^\circ$. То есть, по определению 1, угол между плоскостями равен $90^\circ$, значит, данные плоскости перпендикулярны.

Теорема доказана.

Из этой теоремы следует следующая теорема.

Теорема 2

Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то она перпендикулярна и этим плоскостям.

Доказательство.

Пусть нам даны две плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$ (рис. 3)

Рисунок 3.

Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\alpha $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\alpha $ и $\gamma $ перпендикулярны.

Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\beta $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\beta $ и $\gamma $ перпендикулярны.

Теорема доказана.

Для каждой из этих теорем справедливы и обратные утверждения.

Примеры задач

Пример 1

Пусть нам дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найти все пары перпендикулярных плоскостей (рис. 5).

Рисунок 4.

Решение.

По определению прямоугольного параллелепипеда и перпендикулярных плоскостей видим следующие восемь пар перпендикулярных между собой плоскостей: $(ABB_1)$ и $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1)$ и $(BCC_1)$, $(ABB_1)$ и $(ABC)$, $(DCC_1)$ и $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ и $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ и $(ABC)$.

Пример 2

Пусть нам даны две взаимно перпендикулярные плоскости. Из точки одной плоскости проведен перпендикуляр к другой плоскости. Доказать, что эта прямая лежит в данной плоскости.

Доказательство.

Пусть нам даны перпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Из точки $A$ плоскости $\beta $ проведен перпендикуляр $AC$ к плоскости $\alpha $. Предположим, что $AC$ не лежит в плоскости $\beta $ (рис. 6).

Рисунок 5.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является прямоугольным с прямым углом $ACB$. Следовательно, $\angle ABC\ne {90}^0$.

Но, с другой стороны, $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. То есть двугранный угол, образованный этими плоскостями не равняется 90 градусам. Получаем, что угол между плоскостями не равен $90^\circ$. Противоречие. Следовательно, $AC$ лежит в плоскости $\beta $.

Тема урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей»

Тип урока: Урок изучения нового материала

Формируемые результаты:

Предметные: ввести понятие угла между плоскостями, познакомить учащихся с определением перпендикулярных плоскостей, признаком перпендикулярности двух плоскостей, формировать умение применять его при решении задач.

Личностные: развивать познавательный интерес к геометрии, формировать умение представлять результат своей деятельности.

Метапредметные: формировать умение ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности.

Планируемые результаты: учащийся научится применять новую теорему при решении несложных задач.

Оборудование: доска, готовые рисунки (слайд-фильм), модели, изготовленные учащимися и учителем, текст задачи на печатной основе.

Cлова Пойа Д.:

Подробнее во вложении

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок геометрии в 10 классе.

Тема урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей»

Тип урока: Урок изучения нового материала

Формируемые результаты:

Предметные: ввести понятие угла между плоскостями, познакомить учащихся с определением перпендикулярных плоскостей, признаком перпендикулярности двух плоскостей, формировать умение применять его при решении задач.

Личностные: развивать познавательный интерес к геометрии, формировать умение представлять результат своей деятельности.

Метапредметные: формировать умение ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности.

Планируемые результаты: учащийся научится применять новую теорему при решении несложных задач.

Оборудование: доска, готовые рисунки (слайд-фильм), модели, изготовленные учащимися и учителем, текст задачи на печатной основе.

Cлова Пойа Д.: «Нужно всеми средствами обучать искусству доказывать, не забывая при этом и об искусстве догадываться».

1. Оргмомент.

2. Проверка домашнего задания.

1)Ученик с моделью двугранного угла рассказывает, как образуется его линейный угол; дает определение градусной меры двугранного угла.

2) Задача №1. (Слайд 2) – по рисунку.

3) Задача №2. (Слайд 3) – по рисунку.

К этим задачам вернемся позже перед доказательством признака.

3. Актуализация знаний.

1) Рассказ ученика о пересекающихся плоскостях (используется модель).

2) Определение перпендикулярных плоскостей (использует модель), примеры.

Вернемся к домашним задачам. Было установлено, что в обоих случаях двугранные углы равны 90°, т.е. являются прямыми. Посмотрим, какие символы нужно вставить вместо точек и сделаем вывод о взаимном расположении плоскостей (слайд 4).

(AFC) FO (ADC)

(AFC) (ADC).

Выясним, можно ли без нахождения двугранного угла сделать вывод о перпендикулярности плоскостей?

Обратите внимание на связь (слайд 5):

(DCC₁) DD₁ (ABC) (DCC₁) (ABC) и

(AFC) FO (ADC) (AFC) (ADC)

Формулирование предположения учащимися.

4. Изучение нового материала.

1). Сообщение темы урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей».

2). Формулировка теоремы (учебник): «Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны» ; показ на модели.

3). Доказательство проводится по заранее заготовленному чертежу (рис.62).

Дано: α, β – плоскости; α АВ β; АВ ∩ β = А

Доказать: α β.

Доказательство: 1) α ∩ β = АС

2) АВ АС (?)

3) Построим АD β; АD АС

4) L BAD - ……….. , L BAD = …. ° (?)

5) L (α, β) = 90°, т.е. α β.

5. Первичное закрепление (ПЗ).

1). Решение задачи 1 на готовом чертеже (слайд 6).

Дано: DА

Доказать: (DАС)

2). Решение задачи 2 на готовом чертеже + у каждого заготовленный вырезанный ромб (слайд 7).

Дано: АВСД – ромб;

Перегибаем по диагонали:

ВО

Докажи: (АВС)

3). Задача 3. «Слепой» текст на печатной основе (слайды 8-9).

Дано: рисунок; двугранный угол ВАСД – прямой.

Найди: ВД

Самостоятельно. Проверка.

6. Итоги урока. Информация о домашнем задании.

Перпендикулярность плоскостей Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если линейный угол при ребре двугранного угла между этими плоскостями - прямой.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство. Пусть a и ? - две пересекающиеся плоскости, с - прямая их пересечения и а - прямая перпендикулярная плоскости ? и лежащая в плоскости a . А - точка пересечения прямых a и с. В плоскости ? из точки А восстановим перпендикуляр, и пусть это будет прямая b . Прямая а перпендикулярна плоскости ? , а значит она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, то есть прямые b и с перпендикулярны. Угол между прямыми а и Ь - линейный плоскостями a и ? и равен он 90°, так как прямая а перпендикулярна прямой b (подоказанному).Поопределениюплоскости a и ? перпендикулярны.

Теорема 1 . Еслииз точки,принадлежащейодной из двух перпендикулярных плоскостей,провести перпендикуляр к другой плоскости, то это перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
Доказательство. Пусть a и ? - перпендикулярные плоскости и с - прямая их пересечения, А - точка лежащаявплоскостиa и не принадлежащая прямой с. Пустьперпендикуляр к плоскости ? проведенный из точки А , не лежит в плоскости a , тогда точка С – основание этого перпендикуляра лежит в плоскости ? и не принадлежит прямой с. Из точки А опустим перпендикуляр АВ напрямую с. Прямая АВ перпендикулярна плоскости (использую теорему 2). Через прямую АВ и точку С проведем плоскость ? (прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). Мы видим, что в плоскости ? из одной точки А на прямуюВС проведено два перпендикуляра, чего быть не может, значит прямая АС совпадает с прямой АВ, а прямая АВ в свою очередь полностью лежит в плоскости a .

Теорема 2 . Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
Доказательство. Пусть a и ? - две перпендикулярные плоскости, с - прямая их пересечения и а - прямая перпендикулярная прямой с и лежащая в плоскости a . А - точка пересечения прямых а и с. В плоскости ? из точки А восстановим перпендикуляр, и пусть это будет прямая b . Угол между прямыми а и b - линейный угол при ребре двугранного угла между плоскостями a и ? и равен он 90°, так как плоскости a и ? перпендикулярны. Прямая а перпендикулярна прямой b (по доказанному) и прямой с по условию. Значит прямая а перпендикулярна плоскости? (